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第一章 计 数 原 理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法 计数原理 第1课时 分类加法计数原理与分步乘 法计数原理及其简单应用,1.分类加法计数原理,m+n,2.分步乘法计数原理,mn,3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 (1)联系：都是涉及做一件事的_的种数问题. (2)区别：分类加法计数原理针对的是“_”问题，其中各 种方法_，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对的是“_”问题，各个步骤中的方 法_，只有各个步骤都完成才算做完这件事.,不同方法,分类,相互独立,分步,互相依存,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( ),(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) (4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.( ),【解析】(1)错误.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，即第1类方案中的m种方法和第2类方案中的n种方法没有相同的. (2)正确.在分类加法计数原理中，每类方案中的每一种方法都能完成这件事，否则就是分步了.,(3)正确.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法如果相同，则可认为是相同的步骤. (4)正确.在分步乘法计数原理中，如果事情是分两步完成的，则它的任何一个单独的步骤都不能完成这件事，否则就是分类了. 答案：(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)从10名任课教师，54名同学中，选1人参加元旦文艺演出，共有_种不同的选法. (2)一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有_种不同的取法. (3)从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有_种.,【解析】(1)分类完成此事，一类是选教师，有10种选法，另一类是选学生，有54种选法，由分类加法计数原理可知，共有10+54=64种选法. 答案：64 (2)由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6848. 答案：48,(3)分类完成此事，如果选女生，有3种选法；如果选男生，有2种选法.由分类加法计数原理可知，共有3+2=5种选法. 答案：5,【要点探究】 知识点1 分类加法计数原理 对分类加法计数原理的三点说明 (1)核心：原理的核心是“分类”，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互独立，并且用任何一类中任何一种方法都可以单独完成这件事，因此在应用原理时一定要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的标准下进行分类，其次还要注意分类不能重复，不能遗漏.,(2)目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同方法数”，因此在应用原理解题时要有问题意识，明确并努力思考两个问题，即问题要求我们完成一件什么事，如何完成这件事. (3)推广：原理可以推广到n类不同的方案,【微思考】 (1)分类加法计数原理的最主要的特点是什么？ 提示：最主要的特点是各类中的各种方法都可以单独完成一件事. (2)使用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？ 提示：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准明确，不重不漏”的原则.,【即时练】 从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有( ) A.2种 B.3种 C.5种 D.6种 【解析】选C.从甲地到乙地有2类办法(坐飞机和坐火车)，坐飞机有3种方法(三次航班)，坐火车有2种方法(两趟火车)，所以结合分类加法计数原理，从甲地赶往乙地的方法有5种.,知识点2 分步乘法计数原理 1.使用分步乘法计数原理的三个关注点 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.,(3)推广：,2.两个计数原理的区别,【微思考】 (1)选用分步乘法计数原理的依据是什么？ 提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理. (2)区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？ 提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键是看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，就是分步.,【即时练】 (2014郑州高二检测)某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队方法有( ) A.11种 B.30种 C.56种 D.65种 【解析】选B.先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有65=30种不同的组队方法.,【题型示范】 类型一 应用分类加法计数原理计数 【典例1】 (1)若x，yN*,且x+y6,则有序自然数对(x,y)共有_个. (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_.,【解题探究】1.题(1)中满足x，yN*,且x+y6的x，y各可以取哪几个数？ 2.题(2)中要求个位数字大于十位数字，应用分类加法计数原理时应以哪个为主讨论？ 【探究提示】1.满足x，yN*,且x+y6的x，y各可以从1,2,3,4,5中取数. 2.应用分类加法计数原理时可以以个位数为主讨论，也可以以十位数为主讨论.,【自主解答】(1)将满足条件x，yN*,且x+y6的x的值进行分类： 当x=1时，y可取的值为5，4，3，2，1，共5个； 当x=2时，y可取的值为4，3，2，1，共4个； 当x=3时，y可取的值为3，2，1，共3个； 当x=4时，y可取的值为2，1，共2个； 当x=5时，y可取的值为1，共1个. 即当x=1,2,3,4,5时，y的值依次有5，4，3，2，1个， 由分类加法计数原理得，不同的数对(x,y)共有5+4+3+2+1=15(个).,(2)方法一：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个. 方法二：分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1，2，3，8中的一个，故共有8个；,个位是8，则十位可以是1，2，3，7中的一个，故共有7个； 同理个位是7的有6个； 个位是2的有1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个. 答案：(1)15 (2)36,【延伸探究】本例(2)中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数. 【解析】当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个. 当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个. 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个. 同理可知，当个位数字是2时，共7个， 当个位数字是0时，共9个. 由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1+3+5+7+9=25(个).,【方法技巧】 1.使用分类加法计数原理计数的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类. (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.,2.利用分类加法计数原理计数时的解题流程,【变式训练】（2014安徽高考）从正方体六个面的对角线中 任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有（ ） A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 【解析】选C.与正方体的一个面上的一条对角线成60角的对 角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且 每对均重复计算一次，故共有 =48对.,【补偿训练】有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有( ) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种,【解析】选C.若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法； 若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法； 若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法，故共有2+1+14(种)不同的选派方法.,类型二 应用分步乘法计数原理计数 【典例2】 (1)(2014淄博高二检测) 设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立AB的映射的个数为_. (2)已知集合M=-3，-2，-1，0，1，2，P(a,b)表示平面上的点(a,bM)，问: P可表示平面上多少个不同的点? P可表示平面上多少个第二象限的点? P可表示多少个不在直线y=x上的点?,【解题探究】1.题(1)中能建立AB的映射的关键是什么？ 2.题(2)中平面上第二象限的点有什么特点？ 【探究提示】1.关键是A中的每个元素在B中都有元素与之对应. 2.平面上第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0.,【自主解答】(1) 建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，故由分步乘法计数原理得映射有222=8个. 答案：8 (2)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成: 第一步确定a的值，共有6种确定方法; 第二步确定b的值，也有6种确定方法. 根据分步乘法计数原理，得知P可表示平面上的点数是66=36.,确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法. 由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是32=6. 点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b. 因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个. 结合得，不在直线y=x上的点共有36-6=30(个).,【方法技巧】 1.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 一是要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； 二是各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.,2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程,【变式训练】设集合A=-1,0,1，集合B=0,1,2,3,定义A*B=(x,y)|xAB，yAB,则A*B中元素个数是( ) A.7 B.10 C.25 D.52 【解题指南】先计算AB，AB，再分两步,第一步从AB中选取元素x,第二步从AB中选取元素y,再由分步乘法计数原理计数. 【解析】选B.AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,x有2种取法，y有5种取法.由分步乘法计数原理得25=10,故选B.,【补偿训练】如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种.,【解析】每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂.但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落，其他不脱落或全不脱落.因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有2(2+2)2313种情况. 答案：13,类型三 两个计数原理的综合应用 【典例3】 (1)高艳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则高艳不同的穿衣服的方式有( ) A.24种 B.14种 C.10种 D.9种,(2)(2014兰州高二检测)现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组. 选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ 每班选一名组长，有多少种不同的选法？ 推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 【解题探究】1.题(1)中穿衣服的种类有哪些？ 2.题(2)的中各需要利用什么计数原理？,【探究提示】1.两类，一类是穿连衣裙，另一类是穿衬衣与裙子. 2.中利用分类加法计数原理，中利用分步乘法计数原理，中既利用分类加法计数原理，又利用分步乘法计数原理.,【自主解答】(1)选B.其穿衣方式分两类， 第一类，不选连衣裙有43=12种方法， 第二类，选连衣裙有2种方法， 由分类加法计数原理知，共有12+2=14种方法. (2)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法. 所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).,分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长. 所以，共有不同的选法N=78910=5 040(种).,分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法. 所以，共有不同的选法N=78+79+710+89+810+910=431(种).,【方法技巧】利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法. (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. (3)混合问题一般是先分类再分步.,【变式训练】(1)(2013青岛高二检测)已知一个科技小组中有4名女同学，5名男同学， 若从中任选一名同学参加学科竞赛，则共有不同的选派方法多少种？ 若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，则共有不同的选派方法多少种？,【解析】由分类加法计数原理得，从4名女同学，5名男同学中任选一名同学参加学科竞赛共5+4=9(种)方法.由分步乘法计数原理得从4名女同学，5名男同学中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共45=20(种)方法.,(2)某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况为多少种？ 【解析】分两类：第一类是甲企业有1人发言，有2种情况，另2个发言人来自其余4家企业，有6种情况，根据分步乘法计数原理可得共有26=12(种)情况；另一类是3人全来自其余4家企业，共有4种情况.根据分类加法计数原理可得共有12+4=16(种)情况.,【补偿训练】某小组有10人，每人至少会英语和法语中的一门，其中8人会英语，5人会法语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法？(2)从中选出会英语与会法语的各1人，有多少种不同的选法？,【解析】由于8+5=1310，所以10人中必有3人既会英语又会法语，5人只会英语，2人只会法语. (1)可分类完成此事：一类是只会英语，一类是既会英语也会法语，一类是只会法语，共有5+3+2=10(种). (2)分4类，共有N=52+53+23+32=37(种)方法.,【易错误区】分不清是分类还是分步而导致错误 【典例】体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( ) A.12种 B.7种 C.14种 D.49种,【解析】选D.要完成 进、出门这件事，需要分两步， 第一步进体育场，第二步出体育场， 第一步进门有4+3=7种方法， 第二步出门也有4+3=7种方法， 由分步乘法计数原理知 进、出门的方案有77=49种.,【常见误区】,【防范措施】 明确“分类”与“分步” “分类”是其中任何一类中的任何一种方法均可独立完成所给事情，而“分步”必须是把各个步骤均完成才能完成所给事情.在解题过程中要能高效地得到正确结论必须将要计的数准确进行“分类”或是“分步”，如本例是“分步”，而非“分类”问题.,【类题试解】(2014台州高二检测)给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( ) A.8本 B.9本 C.12本 D.18本 【解析】选D.需分三步完成，第一步首字符有2种编法，第二步，第二个字符有3种编法，第三步，第三个字符有3种编法，故由分步乘法计数原理知不同编号共有233=18种.,
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