高中数学 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 新人教A版选修2-3 .ppt

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第一章 计 数 原 理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法 计数原理 第1课时 分类加法计数原理与分步乘 法计数原理及其简单应用,1.分类加法计数原理,m+n,2.分步乘法计数原理,mn,3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 (1)联系:都是涉及做一件事的_的种数问题. (2)区别:分类加法计数原理针对的是“_”问题,其中各 种方法_,用其中任何一种方法都可以做完这件事; 分步乘法计数原理针对的是“_”问题,各个步骤中的方 法_,只有各个步骤都完成才算做完这件事.,不同方法,分类,相互独立,分步,互相依存,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.( ),(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) (4)在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.( ),【解析】(1)错误.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法互不相同,即第1类方案中的m种方法和第2类方案中的n种方法没有相同的. (2)正确.在分类加法计数原理中,每类方案中的每一种方法都能完成这件事,否则就是分步了.,(3)正确.在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法如果相同,则可认为是相同的步骤. (4)正确.在分步乘法计数原理中,如果事情是分两步完成的,则它的任何一个单独的步骤都不能完成这件事,否则就是分类了. 答案:(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)从10名任课教师,54名同学中,选1人参加元旦文艺演出,共有_种不同的选法. (2)一个袋子里放有6个球,另一个袋子里放有8个球,每个球各不相同,从两个袋子里各取一个球,共有_种不同的取法. (3)从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会,则不同的选法有_种.,【解析】(1)分类完成此事,一类是选教师,有10种选法,另一类是选学生,有54种选法,由分类加法计数原理可知,共有10+54=64种选法. 答案:64 (2)由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6848. 答案:48,(3)分类完成此事,如果选女生,有3种选法;如果选男生,有2种选法.由分类加法计数原理可知,共有3+2=5种选法. 答案:5,【要点探究】 知识点1 分类加法计数原理 对分类加法计数原理的三点说明 (1)核心:原理的核心是“分类”,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相互独立,并且用任何一类中任何一种方法都可以单独完成这件事,因此在应用原理时一定要根据问题的特点确定一个分类的标准,然后在确定的标准下进行分类,其次还要注意分类不能重复,不能遗漏.,(2)目的:原理的目的是求解“完成一件事的不同方法数”,因此在应用原理解题时要有问题意识,明确并努力思考两个问题,即问题要求我们完成一件什么事,如何完成这件事. (3)推广:原理可以推广到n类不同的方案,【微思考】 (1)分类加法计数原理的最主要的特点是什么? 提示:最主要的特点是各类中的各种方法都可以单独完成一件事. (2)使用分类加法计数原理需遵循的原则是什么? 提示:有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准明确,不重不漏”的原则.,【即时练】 从甲地到乙地一天之中有三次航班、两趟火车,某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有( ) A.2种 B.3种 C.5种 D.6种 【解析】选C.从甲地到乙地有2类办法(坐飞机和坐火车),坐飞机有3种方法(三次航班),坐火车有2种方法(两趟火车),所以结合分类加法计数原理,从甲地赶往乙地的方法有5种.,知识点2 分步乘法计数原理 1.使用分步乘法计数原理的三个关注点 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事需要几个步骤,且每步都是独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完成,这是分步的基础,也是关键.从计数上来看,各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.,(3)推广:,2.两个计数原理的区别,【微思考】 (1)选用分步乘法计数原理的依据是什么? 提示:当解决一个问题要分成若干步,每一步只能完成这件事的一部分,且只有当所有步都完成后,这件事才完成,这时就采用分步乘法计数原理. (2)区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么? 提示:区分“完成一件事”是分类还是分步,关键是看一步能否完成这件事,若能完成,则是分类,否则,就是分步.,【即时练】 (2014郑州高二检测)某乒乓球队里有男队员6人,女队员5人,从中选取男、女队员各一人组成混合双打队,不同的组队方法有( ) A.11种 B.30种 C.56种 D.65种 【解析】选B.先选1男有6种方法,再选1女有5种方法,故共有65=30种不同的组队方法.,【题型示范】 类型一 应用分类加法计数原理计数 【典例1】 (1)若x,yN*,且x+y6,则有序自然数对(x,y)共有_个. (2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为_.,【解题探究】1.题(1)中满足x,yN*,且x+y6的x,y各可以取哪几个数? 2.题(2)中要求个位数字大于十位数字,应用分类加法计数原理时应以哪个为主讨论? 【探究提示】1.满足x,yN*,且x+y6的x,y各可以从1,2,3,4,5中取数. 2.应用分类加法计数原理时可以以个位数为主讨论,也可以以十位数为主讨论.,【自主解答】(1)将满足条件x,yN*,且x+y6的x的值进行分类: 当x=1时,y可取的值为5,4,3,2,1,共5个; 当x=2时,y可取的值为4,3,2,1,共4个; 当x=3时,y可取的值为3,2,1,共3个; 当x=4时,y可取的值为2,1,共2个; 当x=5时,y可取的值为1,共1个. 即当x=1,2,3,4,5时,y的值依次有5,4,3,2,1个, 由分类加法计数原理得,不同的数对(x,y)共有5+4+3+2+1=15(个).,(2)方法一:根据题意,将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个. 方法二:分析个位数字,可分以下几类: 个位是9,则十位可以是1,2,3,8中的一个,故共有8个;,个位是8,则十位可以是1,2,3,7中的一个,故共有7个; 同理个位是7的有6个; 个位是2的有1个. 由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).故共有36个. 答案:(1)15 (2)36,【延伸探究】本例(2)中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数. 【解析】当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个. 当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个. 当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个. 同理可知,当个位数字是2时,共7个, 当个位数字是0时,共9个. 由分类加法计数原理知,符合条件的数共有1+3+5+7+9=25(个).,【方法技巧】 1.使用分类加法计数原理计数的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类. (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.,2.利用分类加法计数原理计数时的解题流程,【变式训练】(2014安徽高考)从正方体六个面的对角线中 任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 【解析】选C.与正方体的一个面上的一条对角线成60角的对 角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有96对,且 每对均重复计算一次,故共有 =48对.,【补偿训练】有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床,不同的选派方法有( ) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种,【解析】选C.若选甲、乙二人,包括甲操作A车床,乙操作B车床,或甲操作B车床,乙操作A车床,共有2种选派方法; 若选甲、丙二人,则只有甲操作B车床,丙操作A车床这一种选派方法; 若选乙、丙二人,则只有乙操作B车床,丙操作A车床这一种选派方法,故共有2+1+14(种)不同的选派方法.,类型二 应用分步乘法计数原理计数 【典例2】 (1)(2014淄博高二检测) 设集合A中有3个元素,集合B中有2个元素,可建立AB的映射的个数为_. (2)已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)表示平面上的点(a,bM),问: P可表示平面上多少个不同的点? P可表示平面上多少个第二象限的点? P可表示多少个不在直线y=x上的点?,【解题探究】1.题(1)中能建立AB的映射的关键是什么? 2.题(2)中平面上第二象限的点有什么特点? 【探究提示】1.关键是A中的每个元素在B中都有元素与之对应. 2.平面上第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于0.,【自主解答】(1) 建立映射,即对于A中的每一个元素,在B中都有一个元素与之对应,故由分步乘法计数原理得映射有222=8个. 答案:8 (2)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成: 第一步确定a的值,共有6种确定方法; 第二步确定b的值,也有6种确定方法. 根据分步乘法计数原理,得知P可表示平面上的点数是66=36.,确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定a,由于a0,所以有3种确定方法;第二步确定b,由于b0,所以有2种确定方法. 由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数是32=6. 点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b. 因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个. 结合得,不在直线y=x上的点共有36-6=30(个).,【方法技巧】 1.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 一是要按照事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的; 二是各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事.,2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程,【变式训练】设集合A=-1,0,1,集合B=0,1,2,3,定义A*B=(x,y)|xAB,yAB,则A*B中元素个数是( ) A.7 B.10 C.25 D.52 【解题指南】先计算AB,AB,再分两步,第一步从AB中选取元素x,第二步从AB中选取元素y,再由分步乘法计数原理计数. 【解析】选B.AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,x有2种取法,y有5种取法.由分步乘法计数原理得25=10,故选B.,【补偿训练】如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通.今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有_种.,【解析】每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态,电路不通可能是1个或多个焊接点脱落,问题比较复杂.但电路通的情况却只有3种,即2或3脱落,其他不脱落或全不脱落.因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况,故共有2(2+2)2313种情况. 答案:13,类型三 两个计数原理的综合应用 【典例3】 (1)高艳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出,则高艳不同的穿衣服的方式有( ) A.24种 B.14种 C.10种 D.9种,(2)(2014兰州高二检测)现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组. 选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? 每班选一名组长,有多少种不同的选法? 推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法? 【解题探究】1.题(1)中穿衣服的种类有哪些? 2.题(2)的中各需要利用什么计数原理?,【探究提示】1.两类,一类是穿连衣裙,另一类是穿衬衣与裙子. 2.中利用分类加法计数原理,中利用分步乘法计数原理,中既利用分类加法计数原理,又利用分步乘法计数原理.,【自主解答】(1)选B.其穿衣方式分两类, 第一类,不选连衣裙有43=12种方法, 第二类,选连衣裙有2种方法, 由分类加法计数原理知,共有12+2=14种方法. (2)分四类:第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法. 所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).,分四步:第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长. 所以,共有不同的选法N=78910=5 040(种).,分六类,每类又分两步:从一、二班学生中各选1人,有78种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有79种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有710种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有89种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有810种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有910种不同的选法. 所以,共有不同的选法N=78+79+710+89+810+910=431(种).,【方法技巧】利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法. (2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律. (3)混合问题一般是先分类再分步.,【变式训练】(1)(2013青岛高二检测)已知一个科技小组中有4名女同学,5名男同学, 若从中任选一名同学参加学科竞赛,则共有不同的选派方法多少种? 若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛,则共有不同的选派方法多少种?,【解析】由分类加法计数原理得,从4名女同学,5名男同学中任选一名同学参加学科竞赛共5+4=9(种)方法.由分步乘法计数原理得从4名女同学,5名男同学中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共45=20(种)方法.,(2)某地政府召集5家企业的负责人开会,已知甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况为多少种? 【解析】分两类:第一类是甲企业有1人发言,有2种情况,另2个发言人来自其余4家企业,有6种情况,根据分步乘法计数原理可得共有26=12(种)情况;另一类是3人全来自其余4家企业,共有4种情况.根据分类加法计数原理可得共有12+4=16(种)情况.,【补偿训练】某小组有10人,每人至少会英语和法语中的一门,其中8人会英语,5人会法语,(1)从中任选一个会外语的人,有多少种选法?(2)从中选出会英语与会法语的各1人,有多少种不同的选法?,【解析】由于8+5=1310,所以10人中必有3人既会英语又会法语,5人只会英语,2人只会法语. (1)可分类完成此事:一类是只会英语,一类是既会英语也会法语,一类是只会法语,共有5+3+2=10(种). (2)分4类,共有N=52+53+23+32=37(种)方法.,【易错误区】分不清是分类还是分步而导致错误 【典例】体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某人到该体育场晨练,则他进、出门的方案有( ) A.12种 B.7种 C.14种 D.49种,【解析】选D.要完成 进、出门这件事,需要分两步, 第一步进体育场,第二步出体育场, 第一步进门有4+3=7种方法, 第二步出门也有4+3=7种方法, 由分步乘法计数原理知 进、出门的方案有77=49种.,【常见误区】,【防范措施】 明确“分类”与“分步” “分类”是其中任何一类中的任何一种方法均可独立完成所给事情,而“分步”必须是把各个步骤均完成才能完成所给事情.在解题过程中要能高效地得到正确结论必须将要计的数准确进行“分类”或是“分步”,如本例是“分步”,而非“分类”问题.,【类题试解】(2014台州高二检测)给一些书编号,准备用3个字符,其中首字符用A,B,后两个字符用a,b,c(允许重复),则不同编号的书共有( ) A.8本 B.9本 C.12本 D.18本 【解析】选D.需分三步完成,第一步首字符有2种编法,第二步,第二个字符有3种编法,第三步,第三个字符有3种编法,故由分步乘法计数原理知不同编号共有233=18种.,
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