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第2课时 双曲线方程及性质的应用,类型 一 直线与双曲线的位置关系的判定 【典型例题】 1.(2013汝阳高二检测)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的 右支交于不同的两点,那么k的取值范围是( ) A.(- , ) B.(0, ) C.(- ,0) D.(- ,-1),2.(2013大理高二检测)已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).求过点P(1,2)的直线l的斜率的取值范围,使l与C只有一个交点. 【解题探究】1.题1中直线y=kx+2过定点吗? 2.“当直线l与双曲线有且只有一个交点时,则=0”,这句话对吗?,探究提示: 1.直线y=kx+2恒过定点(0,2). 2.这句话不正确.当直线与双曲线只有一个公共点时,除了=0的情况,还有直线与渐近线平行的情况.,【解析】1.选D.方法一:直线y=kx+2过定点(0,2)(如图), 由图可知,l2渐近线,且 =-1,l1与双曲线相切,若l1的斜率为 ,那么显然当 k-1时,直线与双曲线的右支有两个 不同的公共点. 由 得(1-k2)x2-4kx-10=0, 令=0可解得 (舍). 故由图可知k的取值范围是(- ,-1).,方法二:由 得(k2-1)x2+4kx+10=0. 设直线与双曲线的两交点为(x1,y1),(x2,y2), 两交点都在双曲线的右支上, , - k-1.,2.先设直线l的方程为y-2=k(x-1), 代入双曲线C的方程,整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*) 当2-k2=0,即k= 时,直线与双曲线的渐近线平行, 此时只有一个交点;,当2-k20时,令=0,得k= ,此时只有一个公共点. 又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x=1上,而x=1为双曲 线的一条切线, 当斜率不存在时,直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述,当k= 或k= 或斜率不存在时,l与C只有一个交 点.,【互动探究】题1中,若直线与双曲线有两个不同的公共点,k的取值范围如何? 【解析】由 得(k2-1)x2+4kx+10=0. 当k2-10即k1时,由=(4k)2-410(k2-1)0, 得 故k的取值范围为(- ,-1)(-1,1)(1, ).,【拓展提升】直线与双曲线交点个数问题的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式. (1)0时,直线与双曲线有两个不同的交点. (2)=0时,直线与双曲线只有一个公共点. (3)0时,直线与双曲线没有公共点. 另外,当直线平行于双曲线的渐近线时,直线与双曲线只有一个公共点,故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要而不充分条件.,【变式训练】已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试讨论实数k的取值范围,使: (1)直线l与双曲线有一个公共点. (2)直线l与双曲线有两个公共点. (3)直线l与双曲线没有公共点.,【解析】由 得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*) 当1-k2=0,即k=1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程化为2x=5,故此时方程(*)只有一个实数解; 当1-k20,即k1时,=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).,当 即 且k1时,方程(*)有 两个不同的实数解; 当 即k= 时,方程(*)有两个相同的实数解; 当 即k 时,方程(*)无实数解.,综上所述: (1)当k=1或k= 时,直线与双曲线有一个公共点. (2)当- 时,直线与双曲线没有公共点.,类型 二 直线与双曲线的相交弦问题 【典型例题】 1.过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线 于A,B两点, 则|AB|= . 2.经过点M(2,2)作直线l交双曲线 于A,B两点,且M为 AB中点. (1)求直线l的方程. (2)求线段AB的长.,【解题探究】1.弦长公式的内容是什么? 2.解决中点弦问题的常用方法是什么? 探究提示: 1.|AB|= |x1-x2|或|AB|= |y1-y2| (其中k是直线的斜率,当k=0时用前者). 2.解决中点弦问题的常用方法是点差法,即把两端点代入曲线方程作差,利用平方差公式得直线斜率再求解.,【解析】1.可知直线的方程为y=x+1. 与双曲线方程x2- =1联立消去y得, 3x2-2x-5=0. 设方程3x2-2x-5=0的解为x1,x2,则有 x1+x2= ,x1x2=- , |AB|= |x1-x2|= = 答案:,2.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得 两式相减得 , (x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0. M为AB的中点,x1+x2=4,y1+y2=4, 4(x1-x2)-(y1-y2)=0, l的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6.,(2)将y=4x-6代入到 中得3x2-12x+10=0, 故x1+x2=4,x1x2= |AB|=,【拓展提升】 1.直线和双曲线相交所得弦长的两种求法,2.中点弦问题的两种处理方法,【变式训练】双曲线 A(8,4),过A作直线l交双 曲线于P,Q,A恰为PQ的中点,求直线l的方程. 【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=16,y1+y2=8. 由 得 =,k= 由点斜式得y-4= (x-8), 即9x-8y-40=0, 把x=8代入 得y2=2742, 点(8,4)在双曲线的内部,即以(8,4)为中点的直线是存在的,故直线l的方程为9x-8y-40=0.,类型 三 与双曲线有关的综合问题 【典型例题】 1.(2013桂林高二检测)已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D.,2.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率 为 ,且过点(4,- ). (1)求双曲线的方程. (2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: =0. (3)求F1MF2的面积.,【解题探究】1.题1中,双曲线两顶点三等分焦距,能得出什么结论? 2.双曲线上的点具有什么性质?平面向量数量积的坐标形式怎样表达? 探究提示: 1.结论是2a= 2c,即c=3a. 2.(1)若点P在双曲线上,则点P的坐标一定适合于双曲线的方程;点P满足定义,即|PF1|-|PF2|=2a. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,【解析】1.选B.在x2+y2-4x-9=0中,令x=0得y=3,A(0,3),B(0,-3), A,B在双曲线上, a=3,又A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分, 2a= 2c,c=9,从而b2=c2-a2=81-9=72. 双曲线的焦点在y轴上, 双曲线的标准方程为,2.(1)e= ,可设双曲线方程为x2-y2=. 过点(4,- ),16-10=,即=6. 双曲线方程为x2-y2=6. (2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b= c=2 ,F1(-2 ,0),F2(2 ,0). ,点(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3, 故 =-1,MF1MF2. =0. 方法二:由(1)可知 =(-3-2 ,-m), =(2 -3,-m), =(3+2 )(3-2 )+m2=-3+m2. M点在双曲线上,9-m2=6,即m2-3=0, =0. (3)F1MF2的底|F1F2|=4 ,由(2)知m= . F1MF2的高h=|m|= , =6.,【拓展提升】与双曲线有关的综合问题的三点说明,【变式训练】已知双曲线C: (a0,b0),B是右顶 点,F是右焦点,点A在x轴的正半轴上,且满足 成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线 l,垂足为P. (1)求证 (2)若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E,求双曲线C的离心率e的取值范围.,【解题指南】(1)写出直线l的方程,与双曲线方程联立,解得P点坐标,写出向量的坐标后表示出数量积,从而得到证明.(2)利用根的判别式且x1x20建立不等式,通过解不等式求得e的取值范围.,【解析】(1)设直线l:y=- (x-c), 由 得P( ). 成等比数列,A( ,0). ,(2)联立方程组 整理,得b2x2- (x-c)2=a2b2, 即 x1x2= a4, 即b2a2,c2-a2a2,e22,即e .,【规范解答】设而不求的思想在解双曲线综合问题中的应用,【典例】,【条件分析】,【规范解答】(1)设双曲线方程为 (a0,b0). 由已知得a= ,c=2,再由a2+b2=22,得b2=1. 故双曲线C的方程为 -y2=1.3分 (2)将y=kx+ 代入 -y2=1得(1-3k2)x2-6 kx-9=0. 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即k2 且k21.(*)6分,设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB= ,xAxB= 7分 由 2得xAxB+yAyB2, 9分 于是 即 解此不等式得 k23.(*) 由(*)(*)得 k21.11分 故k的取值范围为(-1,- )( ,1).12分,【失分警示】,【防范措施】 1.关注题目中的每个条件 做双曲线的综合题要养成严谨的习惯,题中的任何条件都不要遗漏,当然也包括隐含条件,如本例中“恒有两个不同交点”,意思是“0”. 2.设而不求思想的应用 解决双曲线的综合问题,常涉及等价转化及方程的思想,以及整体的思想和设而不求的思想,“设而不求”是解决问题的常见方法,如本例中设出A,B两点坐标,但并不需要求出这两点的坐标.,【类题试解】已知直线kx-y+1=0与双曲线 相交于 两个不同点A,B. (1)求k的取值范围. (2)若x轴上的点M(3,0)到A,B两点的距离相等,求k的值. 【解析】(1)由 得(1-2k2)x2-4kx-4=0. 解得:-1k1且k .,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= ,设P为AB中点, 则P( ), 即P( ).点M(3,0)到A,B两点的距离相等,MPAB,kMPkAB=-1, 即k =-1,解得k= 或k=-1(舍去),k= .,1.已知双曲线9y2-m2x2=1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线 的距离为 ,则m=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选D.双曲线的顶点为(0,- )和(0, ),渐近线方程 为3ymx=0.由点到直线的距离公式得 m0,解得m=4.,2.过点A(4,3)作直线l,如果它与双曲线 只有一 个公共点,则直线l的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.把点A代入双曲线方程可知,点A在双曲线上,所以过A且与双曲线只有一个公共点的直线有3条,其中一条为切线,另两条分别平行于渐近线.经验证切线所在的直线与渐近线不平行,故直线l的条数为3.,3.过双曲线 (a0,b0)的一个焦点F作一条渐近线 的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双 曲线的离心率为( ) A. B. C. D.,【解析】选B.如图,不妨设F为右焦点, 向渐近线y= x所作垂线的垂足为P, 则由题知|PO|=|PF|, POF=45, 即 =1, 双曲线的离心率 故选B.,4.直线2x-3y=0被双曲线2x2-3y2=6截得的弦长是 . 【解析】由 得 和 弦长为 答案:2,5.双曲线 与 的离心率分别为e1与e2, 则e1+e2的最小值为 . 【解析】e1= ,e2= (e1+e2)2= 2+2+22=8.e1+e2 =2 (当且仅当b=a时“=”成立). 答案:2,6.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为 l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点,已知 双曲线离心率为 ,设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求 双曲线的方程.,【解析】 即a=2b.又双曲线的焦点在x轴上, 可以设双曲线的方程为x2-4y2=4b2. 不妨令l1的斜率为 ,c= b知, 直线AB的方程为y=-2(x- b) 将代入并化简,得15x2-32 bx+84b2=0. 设直线AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= 于是AB被双曲线截得的线段长为 |x1-x2| = = 由已知,得 b=4,解得b=3,a=6,故双曲线的方程为,
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