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2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值,1.离散型随机变量的均值及其性质 (1)离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 均值或数学期望E(X)=_. 数学期望的含义:反映了离散型随机变量取值的_.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,平均水平,(2)均值的性质: 若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量, Y也是随机变量, E(aX+b)=_. 2.两点分布、二项分布的均值 (1)两点分布:若X服从两点分布,则E(X)=_. (2)二项分布:若XB(n,p),则E(X)=_.,aE(X)+b,p,np,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变 化. ( ) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同. ( ) (3)若随机变量的数学期望E()=3,则E(4-5)=7. ( ),【解析】(1)错误.随机变量的均值是常数,其不随X的变化而变化. (2)错误.随机变量的均值是常数,而样本的平均值,随样本的不同而变化. (3)正确.E()=3,则E(4-5)=4E()-5=12-5=7. 答案:(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若随机变量的分布列为 则的数学期望E()= . (2)设随机变量XB(16,p),且E(X)=4,则p= . (3)(2014上海高二检测)设口袋中有黑球、白球共7个,从中 任取2个球,已知取到白球个数的数学期望为 ,则口袋中白球 的个数为 .,【解析】(1)由题意可知m=0.5,故的数学期望 E()=00.2+10.3+20.5=1.3. 答案:1.3 (2)若随机变量XB(16,p),且E(X)=4, 则16p=4,所以p= . 答案:,(3)设口袋中有白球n个,由题意知口袋中有黑球、白球共7个, 从中任取2个球,取到白球的概率是 ,因为每一次取到白球的 概率是一个定值,且每一次的结果只有取到白球和取不到白球 两种结果,所以符合二项分布,所以2 ,所以n=3. 答案:3,【要点探究】 知识点 离散型随机变量的均值及其性质 1.对均值概念的四点说明 (1)均值的含义:均值是离散型随机变量的一个重要特征数,反映或刻画的是离散型随机变量取值的平均水平. (2)均值的来源:均值不是通过一次或几次试验就可以得到的,而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值.,(3)均值与平均数的区别:均值是概率意义下的平均值,不同于相应数值的算术平均数. (4)均值的单位:随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.,2.对公式E(aX+b)=aE(X)+b的四点说明 (1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身. (2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和. (3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量均值的乘积. (4)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2),即两个随机变量和的均值等于均值的和.,3.离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系,【微思考】 根据离散型随机变量均值的定义思考,对于一般的离散型随机变量,若要求出它的均值,需要确定的量有哪些? 提示:需要确定两个量,一是离散型随机变量的所有取值,另一个是每一个离散型随机变量取值所对应的概率.,【即时练】 一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目的期望为 ( ) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 【解析】选C.由题意知=0,1,2,3, 因为当=0时,表示前三次都没射中,第四次还要射击,但结果不计, 所以P(=0)=0.43,因为当=1时,表示前两次都没射中,第三次射中, 所以P(=1)=0.60.42, 因为当=2时,表示第一次没射中,第二次射中, 所以P(=2)=0.60.4, 因为当=3时,表示第一次射中, 所以P(=3)=0.6, 所以E()=00.43+10.60.42+20.60.4+30.6=2.376.,【题型示范】 类型一 求离散型随机变量的均值 【典例1】 (1)已知随机变量X的分布列如下表,则E(2X+5)=( ) A.1.32 B.2.64 C.6.32 D.7.64,(2)(2014浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3,n3)，从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i=1,2)； (b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则( ) A.p1p2,E(1)E(2) C.p1p2,E(1)E(2) D.p1p2,E(1)E(2),【解题探究】1.题(1)中已知随机变量X的分布列,如何计算E(X)?由性质如何计算E(2X+5)? 2.题(2)中p1,p2分别等于什么？ 【探究提示】1.直接利用期望公式即可计算E(X),对于E(2X+5)的值,可以根据E(2X+5)=2E(X)+5计算.,【自主解答】(1)选D.由题意,E(X)=-20.16+10.44 +30.40=1.32, 所以E(2X+5)=2E(X)+5=2.64+5=7.64,故选D. (2)选A. 故p1p2,比较可知E(1)E(2)，故选A.,【方法技巧】求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值. (2)求概率:求X取每个值的概率. (3)写分布列:写出X的分布列. (4)求均值:由均值的定义求出E(X).其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.,【变式训练】(2013陕西高考)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率. (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.,【解题指南】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式即可得解. (2)先确定随机变量X的取值,再求随机变量X的分布列,最后求出随机变量X的数学期望.,【解析】(1)设事件A表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中 3号歌手. 观众甲选中3号歌手的概率为 ,观众乙未选中3号歌手的概率 为1- . 所以P(A)= 因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为,(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取 0,1,2,3. 观众甲选中3号歌手的概率为 ,观众乙、丙选中3号歌手的 概率为 . 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0， P(X=0)= . 当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，,当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，,X的分布列如下表： 所以数学期望E(X)=,【补偿训练】(2014徐州高二检测)袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1分,试求得分的概率分布和数学期望. 【解题指南】由题意知直接考虑得分的话,情况较复杂,可以考虑取出的4只球颜色的分布情况:4红得(8分),3红1黑得(7分),2红2黑得(6分),1红3黑得(5分),根据球的颜色列出概率,把概率和得分对应起来,得到结论.,【解析】由题意知直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑 取出的4只球颜色的分布情况： 因为4红得(8分)，3红1黑得(7分)，2红2黑得(6分)，1红3黑得 (5分)， 所以P(=5)= 所以E()=,类型二 两点分布及二项分布的均值 【典例2】 (1)已知某离散型随机变量X服从的分布列如图,则随机变量X的数学期望E(X)等于 ( ),(2)(2013辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类 题，张同学从中任取3道题解答. 求张同学至少取到1道乙类题的概率； 已知所取到的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答 对每道甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ， 且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.,【解题探究】1.题(1)中如何求出m的取值？ 2.对于“至少有一个”等问题，应如何求解？求X的数学期望应注意什么？ 【探究提示】1.根据分布列的性质知m+2m=1，据此可求出m的值. 2.诸如“至少有一个”等问题，可以结合对立事件的概率来求解；对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时对应的事件及其概率，列出其分布列，正确应用均值公式进行计算.,【自主解答】(1)选D.由题意可得：m+2m=1，所以m= ，所以 E(X)=0 +1 = .故选D. (2)记事件A=“张同学所取的3道题至少取到1道乙类题”， 则 =“张同学所取的3道题全为甲类题”； 事件 =“张同学所取的3道题全为甲类题”共有 =20种取 法；而“从10道题中任取3道题”共有 =120种取法， 所以 .故P(A)= . 所以张同学至少取到1道乙类题的概率为 .,张同学答对题的个数X的可能值为0，1，2，3. X=0表示张同学答对0道题，P(X=0)= X=1表示张同学答对1道题，包含以下两种可能，“答对1道甲 类题”“答对1道乙类题”， 因此P(X=1)=,X=2表示张同学答对2道题，包含以下两种可能，“答对2道甲类题”“答对1道甲类题和1道乙类题”， 因此 X=3表示张同学所取的3道题全部答对， 因此,所以X的分布列为 故X的数学期望为,【方法技巧】两点分布与二项分布的关系 (1)相同点:一次试验中要么发生要么不发生. (2)不同点: 随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值x=0,1,2,n. 试验次数不同,两点分布一般只有一次试验;二项分布则进行n次试验.,【变式训练】(2013山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛, 约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队 获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设 每局比赛结果互相独立. (1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率. (2)若比赛结果为30或31,则胜利方得3分,对方得0分;若比 赛结果为32,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X的分 布列及数学期望.,【解题指南】(1)本题考查了相互独立事件的概率.(2)本题考查的是随机变量的分布列及数学期望,先列出X的所有值,并求出每个X值所对应的概率,列出分布列,然后根据公式求出数学期望.,【解析】(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31 胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，各 局比赛结果相互独立，故P(A1)= 所以甲队以30胜利、以31胜利的概率都为 ，甲队以 32胜利的概率为 .,(2)设“乙队以32胜利”为事件A4， 由题意，各局比赛结果相互独立， 所以 由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得,故的分布列为 所以E()=,【补偿训练】抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在10次试验中,成功次数的期望是( ) 【解题指南】由题意知试验中的事件是相互独立的，事件发生的概率是相同的，得到成功次数服从二项分布，根据二项分布的期望公式得到结果.,【解析】选D.因为成功次数服从二项分布， 每次试验成功的概率为 所以在10次试验中，成功次数的期望为 .故选D.,类型三 均值的应用 【典例3】 (1)利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( ) A.A1 B.A2 C.A3 D.A4,(2)(2013四川高考)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,24这24个整数中等可能随机产生.,分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3). 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.,甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分),当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.,【解题探究】1.题(1)中选择的方案应具备什么特性? 2.题(2)中输出的y值有几种可能? 【探究提示】1.被选择方案的特性是对应的均值较大. 2.根据程序框图知输出的y值有3种可能,分别为1,2,3.,【自主解答】(1)选C.A1的均值为500.25+650.30+260.45=43.7; A2的均值为700.25+260.30+160.45=32.5; A3的均值为-200.25+520.30+780.45=45.7; A4的均值为980.25+820.30-100.45=44.6. 所以选方案A3.,(2)变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数, 共有24种可能. 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输 出y的值为1,故P1= ; 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2, 故P2= ; 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3= . 所以,输出y的值为1的概率P1= ,输出y的值为2的概率P2= , 输出y的值为3的概率P3= .,当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下: 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.,【方法技巧】解答概率模型的三个步骤 (1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值. (3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.,【变式训练】(2013福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动,举 办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可 以获得2分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得3分;未中奖则 不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影 响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累 计得分为X,求X3的概率. (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖, 问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?,【解析】(1)由已知得：小明中奖的概率为 ，小红中奖的概 率为 ，且两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分 X3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X=5”， 因为P(X=5)= 所以P(A)=1-P(X=5)= ， 所以这两人的累计得分X3的概率为 ,(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择 方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得 分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望 为E(3X2)，由已知：X1B ，X2B ， 所以E(X1)= 所以E(2X1)=2E(X1)= ，E(3X2)=3E(X2)= ， 因为E(2X1)E(3X2)， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最 大,【补偿训练】(2013海淀高二检测)某公司准备将100万元资 金投入代理销售业务,现有A,B两个项目可供选择: 投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的分布列如下表所示: 且X1的均值E(X1)=12.,投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关,B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整,两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0p1)和1-p.经专家测算评估:B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示:,(1)求a,b的值. (2)求X2的分布列. (3)若E(X1) E(X2),则选择投资B项目,求此时p的取值范围.,【解析】(1)由题意得: 解得:a=0.5,b=0.1. (2)X2的可能取值为4.12,11.76,20.40. P(X2=4.12)=(1-p)1-(1-p)=p(1-p), P(X2=11.76)=p1-(1-p)+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2, P(X2=20.40)=p(1-p). 所以X2的分布列为:,(3)由(2)可得: E(X2)=4.12p(1-p)+11.76p2+(1-p)2+20.40p(1-p) =-p2+p+11.76. 因为E(X1)E(X2),所以12-p2+p+11.76. 所以0.4p0.6. 当选择投资B项目时,p的取值范围是(0.4,0.6).,【易错误区】误判的所有可能取值致错 【典例】某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响. 则这名同学回答这三个问题的总得分的数学期望为 .,【解析】的可能取值为-300，-100，100，300. P(=-300)=0.23=0.008，P(=-100)=30.220.8=0.096， P(=100)=30.20.82=0.384，P(=300)=0.83=0.512， 所以的分布列为 根据的分布列，可得的期望 E()=(-300)0.008+(-100)0.096+1000.384+3000.512 =180. 答案：180,【常见误区】,【防范措施】 注意题设信息的提取 合理分析题设信息可以避免因审题带来的不必要的失误.如本例中的条件及待求问题都需要仔细研读.,【类题试解】已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.则X的数学期望E(X)= .,【解析】X的可能取值有：3，4，5，6. 故X的分布列为 故所求X的数学期望E(X)= . 答案：,
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