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第四节 直线、平面平行的判定及其性质,最新考纲展示 1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间平行关系的简单命题,一、直线与平面平行的判定 1定义：直线与平面_，则称直线平行于平面 2判定定理：若_，则b. 二、直线与平面平行的性质定理 若_，则ab.,没有公共点,a，b，ab,a，a，b,三、面面平行的判定与性质,四、与垂直相关的平行的判定 1a，b . 2 ，a .,ab,a,2a的判定和性质定理使用的区别：如果结论中有a，则要用判定定理，在内找与a平行的直线；若条件中有a，则要用性质定理，找(或作)过a且与相交的平面 3当直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离叫做直线与平面的距离 4不论是判定定理还是性质定理，都是具备三个条件才推一个结果书写步骤时，要写全三个条件,5判定定理中直线a，b需要两条相交直线，因而abp至关重要 6平面与平面平行的几个有用性质： (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等 (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例 (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行 (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行,一、直线与平面平行的判定与性质 1若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是( ) A内的所有直线都与直线a异面 B内可能存在与a平行的直线 C内的直线都与a相交 D直线a与平面没有公共点 解析：直线a与不平行，则直线a在内或与相交，当直线a在平面内时，在内存在与a平行的直线，B正确 答案：B,2(2014年泉州质检)对于直线m，n和平面，若n，则“mn”是“m”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：当mn时，m或m，当m时，m与n可能平行也可能为异面直线 答案：D,二、面面平行的判定与性质 3平面平面的一个充分条件是( ) A存在一条直线a，a，a B存在一条直线a，a，a C存在两条平行直线a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线a，b，a，b，a，b,解析：对于选项A，当，两平面相交，直线a平行于交线时，满足要求，故A不对；对于B，两平面，相交，当a在平面内且a平行于交线时，满足要求，但与不平行；对于C，同样在与相交，且a，b分别在，内且与交线都平行时满足要求；故只有D正确，因为a，b异面，故在内一定有一条直线a与a平行且与b相交，同样，在内也一定有一条直线b与b平行且与a相交，由面面平行判定的推论可知其正确 答案：D,4设，是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列条件： ，都平行于直线a，b； a，b是内两条直线，且a，b； 若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b. 其中可判定的条件的序号为_ 解析：中，只有当a与b相交或异面时，才能推得；中，只有a，b相交时才能判定；中，由于a，b相交，设a，b确定平面，则，所以. 答案：,例1 如图，几何体E ABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.,直线与平面平行的判定与性质(师生共研),(1)求证：BEDE； (2)若BCD120，M为线段AE的中点求证：DM平面BEC.,证明 (1)取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CBCD，所以COBD， 又ECBD，ECCOC，CO，EC平面EOC， 所以BD平面EOC，因此BDEO， 又O为BD的中点，所以BEDE.,(2)证法一 取AB的中点N，连接DM，DN，MN. 因为M是AE的中点，所以MNBE. 又MN平面BEC，BE平面BEC， 所以MN平面BEC. 又因为ABD为正三角形， 所以BDN30， 又CBCD，BCD120， 因此CBD30，所以BDNCBD，所以DNBC.,又DN平面BEC，BC平面BEC， 所以DN平面BEC. 又MNDNN， 故平面DMN平面BEC， 又DM平面DMN， 所以DM平面BEC. 证法二 延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CBCD，BCD120，所以CBD30. 因为ABD为正三角形， 所以BADABD60， 所以ABC90， 因此AFB30，,规律方法 (1)证明线面平行的常用方法： 利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行 利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的直线平行于另一平面 (2)已知线面平行时可利用线面平行的性质定理证明线线平行,(1)求证：DB1E为等腰直角三角形； (2)求证：AC平面DB1E.,证明：(1)连接BD，交AC于O， 因为四边形ABCD为菱形， BAD60， 所以BDa. 因为BB1、CC1都垂直于平面ABCD， BB1CC1. 又平面B1C1D1平面ABCD，且都被平面BCC1B1所截， BCB1C1. 所以四边形BCC1B1为平行四边形， 则B1C1BCa，,(1)证明：平面A1BD平面CD1B1； (2)求三棱柱ABD A1B1D1的体积,平面与平面平行的判定和性质(师生共研),解析 (1)证明：由题设知，BB1綊DD1， BB1D1D是平行四边形， BDB1D1. 又BD平面CD1B1， BD平面CD1B1. A1D1綊B1C1綊BC， A1BCD1是平行四边形， A1BD1C. 又A1B平面CD1B1， A1B平面CD1B1.,规律方法 (1)判定面面平行的方法： 定义法：即证两个平面没有公共点 面面平行的判定定理 垂直于同一条直线的两平面平行 平行平面的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行 (2)面面平行的性质： 若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面 若一平面与两平行平面相交，则交线平行,(3)平行间的转化关系：,2如图所示，三棱柱ABC A1B1C1，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点 求证：平面A1BD1平面AC1D.,解析：如图所示，连接A1C交AC1于点E， 因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点，连接ED. 因为A1B平面AC1D， 平面A1BC平面AC1DED，所以A1BED. 因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点 又因为D1是B1C1的中点，所以BD1C1D，A1D1AD. 又A1D1BD1D1，C1DADD，所以平面A1BD1平面AC1D.,例3如图所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE. (1)求证：AEBE； (2)设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.,线面平行中的探索问题(师生共研),解析 (1)证明：AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，又AE平面ABE，则AEBC. 又BF平面ACE，AEEF， 又BFBCB， AE平面BCE， 又BE平面BCE，AEBE.,规律方法 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在,解析：在平面PCD内，过E作EGCD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AFEG， EGCDAF，EGAF，四边形FEGA为平行四边形，FEAG. 又AG平面PAD，FE平面PAD，EF平面PAD. F即为所求的点 又PA面ABCD，PABC， 又BCAB，BC面PAB.PBBC. PC2BC2PB2BC2AB2PA2.,
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