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第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,最新考纲展示 1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题,一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 公理2：过_的三点，有且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_过该点的公共直线,两点,不共线,有且只有一条,二、空间点、直线、平面之间的位置关系,锐角或直角,平行,相等或互补,1异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线 2异面直线所成角的范围是(0,90，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直 3公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用 4公理和推论中“有且只有”一个平面的含义是：平面存在，而且唯一，“有且只有”有时说成“确定” 5使用公理或推论确定平面时，哪些元素(点或直线)确定了平面，该元素本身就在确定的平面内,6异面直线的有关问题：,一、平面的基本性质 1若直线l不平行于平面a，且la，则( ) Aa内的所有直线与l异面 Ba内不存在与l平行的直线 Ca内存在唯一的直线与l平行 Da内的直线与l都相交 解析：由题意知，直线l与平面a相交，则直线l与平面a内的直线只有相交和异面两种关系，因而只有选项B是正确的 答案：B,2下列命题中，真命题是( ) A空间不同三点确定一个平面 B空间两两相交的三条直线确定一个平面 C两组对边相等的四边形是平行四边形 D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 解析：A是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；B不正确，两两相交的三条直线不一定共线；C不正确，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；D正确，故选D. 答案：D,3下列命题正确的个数为( ) 梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A0 B1 C2 D3 解析：中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确 答案：C,答案：A,例1 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点,平面的基本性质及应用(师生共研),规律方法 (1)证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 (2)证明点共线问题，一般有两种途径：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点,例2 正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： 直线AM与CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线； 直线BN与MB1是异面直线； 直线AM与DD1是异面直线 其中正确的结论为_(把你认为正确的结论的序号都填上),空间两直线的位置关系(师生共研),解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误点B、B1、N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN、MB1是异面直线同理AM、DD1也是异面直线 答案 ,规律方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决,2如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( ) AMN与CC1垂直 BMN与AC垂直 CMN与BD平行 DMN与A1B1平行,解析：连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1， CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1， MNCC1，MNAC，MNBD. 又A1B1与B1D1相交， MN与A1B1不平行，故选D. 答案：D,例3 (1)三棱柱ABC A1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，AA1平面ABC，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90 (2)四棱锥P ABCD中，PA平面ABCD，ABCD为正方形，ABPA2，M，N分别为PA，PB的中点，则MD与AN所成角的余弦值为_,异面直线所成的角(师生共研),解析 (1)如图延长CA到D，使得ADAC， 则四边形ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角， 又由ABACAA1得A1DB为等边三角形， DA1B60. 故选C.,规律方法 (1)找中点是立体几何中寻找平行线的重要技巧，在求解异面直线所成的角时，这往往就是化解难点的关键找中点一般是为了构造平行四边形、三角形的中位线等，要根据题目的实际情况灵活处理 (2)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化为共面问题来解决，具体步骤如下： 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角 计算：求该角的值，常利用解三角形,3直三棱柱ABC A1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90,答案：C,
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