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第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,最新考纲展示 1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间垂直关系的简单命题,一、直线与平面垂直 1定义：如果直线l与平面内的 直线都垂直，则直线l与平面垂直 2判定定理：一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直 3推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 4直线和平面垂直的性质 (1)垂直于同一个平面的两条直线 (2)直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线 (3)垂直于同一条直线的两平面 ,任意一条,相交,平行,任意,平行,二、二面角的有关概念 1二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫作二面角 2二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 三、平面与平面垂直 1定义：如果两个平面所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直 2判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 3性质定理：两个平面垂直，则一个平面内 的直线与另一个平面垂直,两个半平面,垂直于棱,直二面角,垂线,垂直于交线,四、直线和平面所成的角 1平面的一条斜线和它在 所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角 2当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为 .,平面上的射影,90和0,1直线与平面垂直的定义常常逆用，即a，bab. 2若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面 3垂直于同一条直线的两个平面平行 4过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 5过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 6两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形 7由平面和平面垂直的判定定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直 8平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l，l，缺一不可,一、直线与直线垂直 1设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，且lb”是“l”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解析：由线面垂直的判定定理知，充分性不成立，由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故选C. 答案：C,2已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为( ) Ab Bb Cb或b Db与相交 解析：由ab，a知b或b，但直线b不与相交 答案：C,二、平面与平面垂直 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行( ) (3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行( ) (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ) 答案：(1) (2) (3) (4),4在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面四个结论中不正确的是( ) ABC平面AGF BEG平面ABF C平面AEF平面BCD D平面ABF平面BCD 解析：易知点A在平面BCD上的射影在底面的中心，而中心不在EF上，所以平面AEF平面BCD错误，选C. 答案：C,(1)求证：ADC1E； (2)当异面直线AC，C1E所成的角为60时，求三棱锥C1 A1B1E的体积,直线与平面垂直的判定与性质(师生共研),解析 (1)证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC. 又在直三棱柱ABC A1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1. 由，得AD平面BB1C1C. 由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E. (2)因为ACA1C1，所以A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，A1C1E60. 因为B1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1，又AA1A1C1，从而 A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E.,规律方法 (1)解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础 (2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在,1(2014年保定调研)如图所示，已知三棱锥A BPC中，ACBC，APPC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形的 (1)求证：BC平面APC； (2)若BC3，AB10，求点B到平面DCM的距离,解析：(1)PMB为正三角形， 且D为PB的中点，MDPB. 又M为AB的中点，D为PB的中点， MDAP，APPB. 又已知APPC，AP平面PBC， APBC，又ACBC，ACAPA， BC平面APC.,例2 如图，在四棱锥P ABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证： (1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD.,平面与平面垂直的判定及性质(师生共研),证明 (1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD. (2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点， 所以ABDE，且ABDE. 所以ABED为平行四边形 所以BEAD. 又因为BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE平面PAD. (3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形， 所以BECD，ADCD.,由(1)知PA底面ABCD. 所以PACD. 所以CD平面PAD. 所以CDPD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PDEF， 所以CDEF，又COBE，BEEFE， 所以CD平面BEF. 所以平面BEF平面PCD.,规律方法 (1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形 (2)由平面和平面垂直的判定定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直 (3)平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l，l，缺一不可,2如图，四棱锥P ABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点 (1)求证：CE平面PAD； (2)求证：平面EFG平面EMN.,因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EFPA. 又EF平面PAD， 所以EF平面PAD. 因为CFEFF， 故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF， 所以CE平面PAD. (2)因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EFPA. 又ABPA， 所以ABEF.,同理可证ABFG. 又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG， 因此AB平面EFG. 又M，N分别为PD，PC的中点， 所以MNCD. 又ABCD， 所以MNAB. 因此MN平面EFG. 又MN平面EMN， 所以平面EFGEMN.,考情分析 空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题角度有： (1)以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明 (2)探索性问题中的平行与垂直问题 (3)折叠问题中的平行与垂直问题,平行与垂直的综合问题(高频研析),角度一 平行与垂直关系的证明 1.(2014年高考湖北卷)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证： (1)直线BC1平面EFPQ； (2)直线AC1平面PQMN.,证明：(1)连接AD1，由ABCD A1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1. 从而BC1FP. 而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ， 故直线BC1平面EFPQ.,(2)如图，连接AC，BD，则ACBD. 由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD. 又ACCC1C，所以BD平面ACC1. 而AC1平面ACC1，所以BDAC1. 因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而MNAC1. 同理可证PNAC1.又PNMNN， 所以直线AC1平面PQMN.,角度二 探索性问题中的平行与垂直问题 2.如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，ACBC，ACBCCC12，M，N分别为AC，B1C1的中点 (1)求线段MN的长； (2)求证：MN平面ABB1A1； (3)线段CC1上是否存在点Q，使A1B平面MNQ？说明理由,(3)线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B平面MNQ 证明如下：连接BC1. 在正方形BB1C1C中易证QNBC1. 又A1C1平面BB1C1C，所以A1C1QN，从而NQ平面A1BC1. 所以A1BQN. 同理可得A1BMQ，所以A1B平面MNQ. 故线段CC1存在点Q，使得A1B平面MNQ.,角度三 折叠问题中的平行与垂直关系 3(2014年高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2.按图(2)折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.,(1)证明：CF平面MDF； (2)求三棱锥M CDE的体积,规律方法 平行与垂直的综合应用问题的处理策略： (1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点 (2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系.,
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