矩阵论-特征值和特征向量.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束,数学科学学院 陈建华,矩 阵 论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1 特征值和特征向量,一、方阵的特征值和特征向量,二、线性变换的特征值和特征向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、定义,假设 A 是 n 阶方阵，如果存在数 和非零向量 X，使得,AX= X,称 是矩阵 A 的一个特征值， X 是对应于 的一个特征向量。,一、方阵的特征值和特征向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,AX = X,非零向量,特征向量,特征值,n阶方阵,对应于特征值 的特征向量不唯一。,注：,2、求法,AX = X,(EA)X = 0,|EA| = 0,特征方程,特征多项式,EA,特征矩阵,特征值,特征向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 为A的特征值 |EA| = 0.,(2) X为A的对应于的特征向量, (EA)X = 0, X为非零向量.,求特征值和特征向量的步骤：,(1) 写出A的特征方程|EA|0;,(2) 求出A的n个特征值1, 2 n;,(3) 对每一特征值i，求解对应的方程组,(iEA)X0,方程组的非零解就是i的所有特征向量.,定理1,例1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: A的特征多项式为,求矩阵,的特征值和特征向量.,所以A的特征值为 1=2, 2= 3= 1.,对于1=2,解方程组(2EA)X = 0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,p1=(0, 0, 1)T.,对应于1=2的特征向量为k1p1 (0k1R).,得基础解系,对于2= 3=1,解方程组 (EA)X= 0,得基础解系,p2=(1, 2, 1)T.,对应于2=3 =1的特征向量为k2p2 (0k2R).,于是，,于是，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、性质,（1）2 是A2 的特征值;,（2）-1 是A-1 的特征值；,（3）a+k 是aE+kA 的特征值（a, k为常数）。,且 X 仍为 A2 , A-1 , aE+kA 的分别对应于特征值 2 , -1, a+k的特征向量。,设是方阵A的特征值，X为A 的对应于,性质1,的特征向量，则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特征值为 1=2, 2= 3= 1.,1+2+3= 4,123= 2,= a11+ a22+ a33,= |A|.,观察例1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设A = (aij)nn的特征值为1, , n, 则 (1) 1 + + n = a11+ann， (2) 1 2 n = |A|, 其中a11+ann 称为A 的迹，记作tr(A).,性质2,证明：,= (- 1) (- n) .,f() = n- (a11+ann )n-1 +(-1)n|A|,f() = n- ( 1+ n )n-1 +(-1)n ( 1 n ),比较上述两式n-1项的系数和常数项，可得结论。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A 可逆当且仅当1, , n全不为零.,的确是方阵的一个 特征 .,推论,由此可知,特征值可以刻画方阵的可逆性,（3）AT 特征值为1, , n；,（4）AH 特征值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设是方阵A的特征值，X为A 的对应于,性质3,的特征向量，,则 对应的特征向量。,P3,定理1.2,例2,已知三阶方阵A有特征值1，2，3，求|E+2A|.,例3,（1）m 是Am 的特征值;,（2）|A|/ 是A* 的特征值；,设是方阵A的特征值，X为A 的对应于,的特征向量，证明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质4,设i是方阵A的特征值，它的代数重数是ni,几何维数是si，则,其中：,Si 是A的属于i的线性无关的特征向量的个数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果 分别是 A 的属于互不相同的特征值,的特征向量，则 线性无关.,证：对k作数学归纳法.,性质5,推论,特征值 的线性无关的特征向量，,则向量 线性无关.,是 A 的不同特征值，而 是属于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,对于n阶方阵A,B, 证明：,思考题,对于n阶方阵A,B, 等式 AB-BA=E 是否成立？,二、线性变换的特征值和特征向量,设 是数域P上线性空间V的一个线性变换，,则称 为 的一个特征值，称 为 的属于特征值,二、线性变换的特征值与特征向量,1. 定义,若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量,使得,的特征向量., 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持,由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，,注, 若 是 的属于特征值 的特征向量，则,也是 的属于 的特征向量.,但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即,若 且 ，则,设 是V的一组基，,线性变换 在这组基下的矩阵为A.,下的坐标记为,2.特征值与特征向量的求法,分析：,设 是 的特征值，它的一个特征向量 在基,则 在基 下的坐标为,而 的坐标是,于是,又,从而,又,即 是线性方程组 的解，, 有非零解.,所以它的系数行列式,以上分析说明：,若 是 的特征值，则,反之，若 满足,则齐次线性方程组 有非零解.,若 是 一个非零解，,特征向量.,则向量 就是 的属于 的一个,设 是一个文字，矩阵 称为,称为A的特征多项式.,3. 特征多项式,A的特征矩阵，它的行列式,（ 是数域P上的一个n次多项式）, 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：, 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵，,而 是 的一个特征值，则 是特征多项式,的根，即,的一个特征值.,反之，若 是A的特征多项式的根，则 就是,（所以，特征值也称特征根.）,而相应的线性方程组 的非零解也就,称为A的属于这个特征值的特征向量.,i) 在V中任取一组基 写出 在这组基下,就是 的全部特征值.,ii) 求A的特征多项式 在P上的全部根它们,4. 求特征值与特征向量的一般步骤,的矩阵A .,iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组,的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.),并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值,则,就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.,而,（其中， 不全为零）,就是 的属于 的全部特征向量.,如果特征值 对应方程组的基础解系为：,对 皆有,所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.,例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下,的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是,故数乘法变换K的特征值只有数k，且,解：A的特征多项式,例2.设线性变换 在基 下的矩阵是,求 特征值与特征向量.,故 的特征值为： （二重）,把 代入齐次方程组 得,即,它的一个基础解系为：,因此，属于 的两个线性无关的特征向量为,而属于 的全部特征向量为,不全为零,因此，属于5的一个线性无关的特征向量为,把 代入齐次方程组 得,解得它的一个基础解系为：,而属于5的全部特征向量为,5.特征子空间,定义：,再添上零向量所成的集合，即,设 为n维线性空间V的线性变换， 为,的一个特征值，令 为 的属于 的全部特征向量,注：,的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于 的,若 在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则,即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组,(*),全部线性无关的特征向量就是 的一组基.,线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言 David . C . Lay,