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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修1-1 1-2,推理与证明,第二章,2.1 合情推理与演绎推理,第二章,2.1.2 演绎推理,学习目标解读 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异,重点：演绎推理的含义及演绎推理规则 难点：演绎推理的应用,思维导航 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种推理形式正确吗？,演绎推理,新知导学 1演绎推理 从_出发，推出_情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由_的推理 2三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： (1)大前提已知的_； (2)小前提所研究的_； (3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的_,一般性的原理,某个特殊,一般到特殊,一般原理,特殊情况,判断,其一般推理形式为 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结 论：_. 利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么_. 3在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么_必定是正确的因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论_正确,S是P,S中所有元素也都具有性质P,结论,不一定,牛刀小试 1演绎推理是( ) A部分到整体，个别到一般的推理 B特殊到特殊的推理 C一般到特殊的推理 D一般到一般的推理 答案 C,2(2015厦门高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”上述推理( ) A小前提错 B结论错 C正确 D大前提错 答案 C 解析 933，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确,3在三段论中，M、P、S的包含关系可表示为( ) 答案 A 解析 三段论中，S是M的子集，M可能是P的子集，即具有这种性质，也可能不是P的子集，即不具有这种性质,4给出下列结论： 演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定为真； 演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能为真； 由合情推理得到的结论一定为真； 演绎推理和合情推理都可以用于证明； 合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明 其中正确结论的序号为_. 答案 ,5判断下列推理是否正确？为什么？ “因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)” 解析 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件,将下列推理写成“三段论”的形式： (1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；,把演绎推理写成三段论形式,分析 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式 解析 (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提 零向量是向量，小前提 所以零向量也有大小和方向结论 (2)每一个矩形的对角线都相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等结论,方法规律总结 1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来 2判断演绎推理是否正确的方法 (1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方； (2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件； (3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内； (4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确,(1)判断下面推理是否正确？为什么？ 奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，9是质数 (2)“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数”把此演绎推理写成三段论的形式为： 大前提：_ 小前提：_ 结论：_,解析 (1)错误推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例 (2)根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数,已知在梯形ABCD中(如图)，DCDA，ADBC 求证：AC平分BCD(用三段论证明),三段论在证明几何问题中的应用,解析 等腰三角形两底角相等，大前提 ADC是等腰三角形，1和2是两个底角，小前提 12.结论 两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提 1和3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提 13.结论 等于同一个角的两个角相等，大前提 21，31，小前提 23，即AC平分BCD结论,方法规律总结 应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论,用三段论分析下题的证明过程 如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF. 证明过程如下： BFDA，FDAE， 又DEBA， 四边形AFDE是平行四边形， EDAF.,解析 上述推理过程应用了三次三段论第一次省略大前提和小前提的部分内容；第二次省略大前提并承前省了其中一组对边平行的条件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演绎推理过程如下： 因为同位角相等，两条直线平行，大前提 BFD与A是同位角，且BFDA，小前提 所以FDAE.结论,因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提 DEBA，且FDAE，小前提 所以四边形AFDE为平行四边形结论 因为平行四边形的对边相等，大前提 ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提 所以EDAF.结论,演绎推理在代数问题中的应用,方法规律总结 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范,(2015郑州高二检测)已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足以下三个条件： 对任意的x0,1，总有f(x)0； f(1)1； 若“当x10，x20且x1x21时，有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立”，则称f(x)为“友谊函数”,(1)若已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值 (2)函数g(x)2x1在区间0,1上是否为“友谊函数”？并给出理由 (3)已知f(x)为“友谊函数”，且0x1x21，求证：f(x1)f(x2) 解题思路探究 第一步，审题 审条件，挖掘解题信息 定义域0,1，在研究函数过程中不能超出这个范围； “友谊函数”新定义包含三个条件，尤其条件需严格证明后才能确定,审结论，明确解题目标 第(1)问已知f(x)为友谊函数，求f(0)可用赋值法求解； 第(2)问给出f(x)解析式和定义区间，判断f(x)是否为友谊函数，需紧扣定义验证f(x)是否满足三个条件 第(3)问要证f(x1)f(x2)，需依据条件进行变换，注意条件在变形中的应用 第二步，建联系，确定解题步骤 先用赋值法求第(1)问，再依次验证(2)中函数满足友谊函数的三个条件，最后，利用恒等变换技巧借助条件推证第(3)问 第三步，规范解答,解析 (1)取x1x20，得f(0)f(0)f(0)， 又由f(0)0，得f(0)0. (2)显然g(x)2x1在0,1上满足g(x)0； g(1)1； 若x10，x20，且x1x21， 则有g(x1x2)g(x1)g(x2) 2x1x21(2x11)(2x21) (2x11)(2x21)0. 故g(x)2x1满足条件， 所以g(x)2x1为“友谊函数” (3)因为0x1x21，则0x2x11， 所以f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1),不要张冠李戴 如图所示，在ABC中，ACBC，CD是AB边上的高，求证ACDBCD 错解 在ABC中，因为ACBC，CDAB，所以ADBD，所以ACDBCD,辨析 错误的原因在于虽然运用的大前提正确，即在同一个三角形中，大边对大角，但AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边，即小前提不成立，所以推理过程错误 正解 因为CDAB，所以ADCBDC90， 所以AACDBBCD90， 在ABC中，ACBC，BA， ACDBCD,
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