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最新考纲 1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发 点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判 定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面 面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简 单命题,第3讲 直线、平面平行的判定与性质,1直线与平面平行的判定与性质,知 识 梳 理,a，b，,a，a，,ab,b,2. 面面平行的判定与性质,a，b，,， a，b,abP， a，b,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 ( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线 ( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ( ) (4)若，直线a，则a. ( ),诊 断 自 测,2若直线m平面，则条件甲：“直线l”是条件乙：“lm”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 D,3已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是 ( ) A若m，n，则mn B若m，n，则mn C若m，mn，则n D若m，mn，则n 解析 若m，n，则m与n可能平行、相交或异面，故A错误；B正确；若m，mn，则n或n，故C错误；若m，mn，则n与可能平行、相交或n，故D错误因此选B. 答案 B,4过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条 解析 各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意 答案 6,5(人教A必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_ 解析 连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，O为BD的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE. 答案 平行,考点一 有关线面、面面平行的命题真假判断 【例1】 (1)(2013广东卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A若，m，n，则mn B若，m，n，则mn C若mn，m，n，则 D若m，mn，n，则,(2)设m，n表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是 ( ) A若m，mn，则n B若m，n，m，n，则 C若，m，mn，则n D若，m，nm，n，则n 解析 (1)A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中，若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故D正确,(2)A错误，n有可能在平面内；B错误，平面有可能与平面相交；C错误，n也有可能在平面内；D正确，易知m或m，若m，又nm，n，n，若m，过m作平面交平面于直线l，则ml，又nm，nl，又n，l，n. 答案 (1)D (2)D 规律方法 线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题,【训练1】 (1)(2014长沙模拟)若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是 ( ) Ab Bb Cb或b Db与相交或b或b (2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题： 若l与m为异面直线，l，m，则； 若，l，m，则lm； 若l，m，n，l，则mn. 其中真命题的个数为 ( ) A3 B2 C1 D0,解析 (1)可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b与相交或b或b时，均满足直线ab，且直线a平面的情况，故选D. (2)中，当与相交时，也能存在符合题意的l，m；中，l与m也可能异面；中，l，l，mlm，同理ln，则mn，正确 答案 (1)D (2)C,考点二 直线与平面平行的判定与性质 【例2】 如图，几何体EABCD是四棱 锥，ABD为正三角形，CBCD， ECBD. (1)求证：BEDE； (2)若BCD120，M为线段AE的 中点，求证：DM平面BEC.,证明 (1)如图，取BD的中点O， 连接CO，EO. 由于CBCD，所以COBD. 又ECBD，ECCOC， CO，EC平面EOC， 所以BD平面EOC，,又EO平面EOC，因此BDEO. 又O为BD的中点，所以BEDE. (2)法一 如图，取AB的中点N，连 接DM，DN，MN. 因为M是AE的中点， 所以MNBE. 又MN平面BEC， BE平面BEC， 所以MN平面BEC. 又因为ABD为正三角形，所以BDN30. 又CBCD，BCD120，因此CBD30.,所以DNBC. 又DN平面BEC，BC平面BEC， 所以DN平面BEC.又MNDNN， 所以平面DMN平面BEC. 又DM平面DMN，所以DM平面BEC 法二 如图，延长AD，BC交于点F， 连接EF. 因为CBCD，BCD120， 所以CBD30. 因为ABD为正三角形， 所以BADABD60，,ABC90， 又ABAD，所以D为线段AF的中点 连接DM，由于点M是线段AE的中点， 因此DMEF. 又DM平面BEC，EF平面BEC， 所以DM平面BEC.,规律方法 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa),(1)证明：MN平面AACC； (2)求三棱锥AMNC的体积 (1)证明 法一 连接AB，AC，如图，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱， 所以M为AB中点 又因为N为BC的中点，所以MNAC. 又MN平面AACC，AC平面AACC， 因此MN平面AACC.,法二 取AB的中点P，连接MP，NP，AB， 如图，而M，N分别为AB与BC的中点， 所以MPAA，PNAC， 所以MP平面AACC，PN平面AACC. 又MPNPP，因此平面MPN平面AACC. 而MN平面MPN，因此MN平面AACC.,(2)解 法一 连接BN，如上图，由题意ANBC，平面ABC平面BBCCBC，AN平面ABC，,考点三 平面与平面平行的判定与性质 (1)证明：平面A1BD平面CD1B1； (2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积 (1)证明 由题设知，BB1綉DD1， 四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1. 又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1， BD平面CD1B1.,A1D1綉B1C1綉BC， 四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C. 又A1B平面CD1B1， A1B平面CD1B1. 又BDA1BB， 平面A1BD平面CD1B1. (2)解 A1O平面ABCD， A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高,规律方法 证明两个平面平行的方法有：(1)用定义，此类题目常用反证法来完成证明；(2)用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；(4)借助“传递性”来完成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化,【训练3】 如图，在三棱柱ABCA1B1C1 中，E，F，G，H分别是AB，AC， A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1平面BCHG. 证明 (1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1，又B1C1BC， GHBC，B，C，H，G四点共面 (2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点， EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG， EF平面BCHG.,又G，E分别为A1B1，AB的中点， A1G綉EB， 四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB. A1E平面BCHG，GB平面BCHG， A1E平面BCHG.又A1EEFE， 平面EFA1平面BCHG.,考点四 平行关系中的探索性问题 【例4】 (2014四川卷)在如图所示的多 面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都 为矩形 (1)若ACBC，证明：直线BC平 面ACC1A1； (2)设D，E分别是线段BC，CC1的中 点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论,(1)证明 因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1AB，AA1AC. 因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线， 所以AA1平面ABC. 因为直线BC平面ABC， 所以AA1BC. 又ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线， 所以BC平面ACC1A1. (2)解 取线段AB的中点M， 连接A1M，MC，A1C，AC1，OM，设O为A1C，AC1的交点,由已知可知O为AC1的中点 连接MD，OE，则MD，OE分别为 ABC，ACC1的中位线 从而四边形MDEO为平行四边形， 则DEMO. 因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC， 所以直线DE平面A1MC，,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)， 使直线DE平面A1MC. 规律方法 解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明,【训练4】 如图，在四棱锥PABCD中， PD平面ABCD，底面ABCD为矩形， PDDC4，AD2，E为PC的中点 (1)求三棱锥APDE的体积； (2)AC边上是否存在一点M，使得 PA平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由 解 (1)因为PD平面ABCD，所以PDAD. 又因为ABCD是矩形，所以ADCD. 因为PDCDD，所以AD平面PCD，,所以AD是三棱锥APDE的高 因为E为PC的中点，且PDDC4， (2)取AC中点M，连接EM，DM， 因为E为PC的中点，M是AC的中点， 所以EMPA.,又因为EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA平面EDM.,思想方法 1对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义判定定理性质定理应用”的顺序其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用 2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为,在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化” 易错防范 1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误 2线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断 3解题时注意符号语言的规范应用.,
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