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最新考纲 1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发 点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判 定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面 面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简 单命题,第4讲 直线、平面垂直的判定与性质,1直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面内的_直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直,知 识 梳 理,任意,(2)判定定理与性质定理,两条相,平行,交直线,la,lb,a,b,a,b,2. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理与性质定理,直二面角,垂线,l,l,3. 直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角,交线,a,la,l,4二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱_的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角,两个半平面,垂直,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l. ( ) (2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直 ( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 ( ) (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则. ( ),诊 断 自 测,2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.故选A. 答案 A,3(2013新课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则( ) A且l B且l C与相交，且交线垂直于l D与相交，且交线平行于l 解析 由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l，故选D. 答案 D,4(2014四川卷)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点 设点P在线段CC1上，直线OP与平面 A1BD所成的角为，则sin 的取值范 围是 ( ),答案 B,5(2015宁波模拟)如果正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4，则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为_ 答案 45,考点一 直线与平面垂直的判定与性质 【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 证明：(1)CDAE； (2)PD平面ABE. 证明 (1)在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD， CD平面ABCD，PACD， ACCD，且PAACA，,CD平面PAC.而AE平面PAC， CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD. 而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，PAAB. 又ABAD且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD. 又ABAEA，PD平面ABE.,规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义；判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想,求证：(1)AP平面BEF； (2)BE平面PAC. 证明 (1)设ACBEO，,所以AEBC，AEABBC， 因此四边形ABCE为菱形， 所以O为AC的中点 又F为PC的中点，因此在PAC中，可得APOF. 又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF. (2)由题意知EDBC，EDBC， 所以四边形BCDE为平行四边形， 因此BECD.又AP平面PCD， 所以APCD，因此APBE. 因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC. 又APACA，AP，AC平面PAC， 所以BE平面PAC.,考点二 平面与平面垂直的判定与性质 【例2】 如图，在四棱锥PABCD中， ABAC，ABPA，ABCD， AB2CD，E，F，G，M，N分别 为PB，AB，BC，PD，PC的中点 求证：(1)CE平面PAD； (2)平面EFG平面EMN. 证明 (1)法一 取PA的中点H， 连接EH，DH. 因为E为PB的中点， 所以EHAB，,所以EHCD，且EHCD. 因此四边形DCEH是平行四边形 所以CEDH. 又DH平面PAD， CE平面PAD， 因此，CE平面PAD.,所以四边形AFCD为平行四边形 因此CFAD. 又CF平面PAD，AD平面PAD， 所以CF平面PAD. 因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EFPA.,又EF平面PAD，PA平面PAD， 所以EF平面PAD. 因为CFEFF，故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF，所以CE平面PAD. (2)因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EFPA. 又ABPA，所以ABEF. 同理可证ABFG. 又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG， 因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点， 所以MNCD，又ABCD，所以MNAB. 因此MN平面EFG.又MN平面EMN， 所以平面EFG平面EMN.,规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a) (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直,【训练2】 (2014江苏卷)如图，在三棱 锥PABC中，D，E，F分别为棱 PC，AC，AB的中点已知 PAAC，PA6，BC8，DF5. 求证：(1)直线PA平面DEF； (2)平面BDE平面ABC. 证明 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA. 又因为PA平面DEF，DE平面DEF， 所以直线PA平面DEF.,所以DEF90，即DEEF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE平面ABC. 又DE平面BDE， 所以平面BDE平面ABC.,考点三 线面角、二面角的求法 【例3】 如图，在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，ABAD，ACCD， ABC60，PAABBC，E是PC 的中点 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明：AE平面PCD； (3)求二面角APDC的正弦值 (1)解 在四棱锥PABCD中， 因PA底面ABCD，AB平面ABCD， 故PAAB.又ABAD，PAADA，,从而AB平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而APB为PB和平面PAD所成的角 在RtPAB中，ABPA，故APB45. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45. (2)证明 在四棱锥PABCD中， 因PA底面ABCD，CD平面ABCD， 故CDPA.由条件CDAC，PAACA， CD平面PAC. 又AE平面PAC，AECD. 由PAABBC，ABC60，可得ACPA.,E是PC的中点，AEPC. 又PCCDC，综上得AE平面PCD. (3)解 过点E作EMPD，垂足为M， 连接AM，如图所示 由(2)知，AE平面PCD，AM在平面 PCD内的射影是EM，则AMPD. 因此AME是二面角APDC的平面角 由已知，可得CAD30. 设ACa，可得,规律方法 求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量平面角的作法常见的有定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质,【训练3】 (2014天津一考)如图所示，在 四棱锥PABCD中，底面ABCD是正 方形，侧棱PD底面ABCD， PDDC.E是PC的中点，作EFPB 交PB于点F. (1)证明PA平面EDB； (2)证明PB平面EFD； (3)求二面角CPBD的大小,(1)证明 如图所示， 连接AC，AC交BD于O，连接EO. 底面ABCD是正方形， 点O是AC的中点 在PAC中，EO是中位线， PAEO. 而EO平面EDB且PA平面EDB， PA平面EDB.,(2)证明 PD底面ABCD，且DC底面ABCD， PDDC.PDDC，可知PDC是等腰直角三角形 而DE是斜边PC的中线，DEPC. 同样，由PD底面ABCD，得PDBC. 底面ABCD是正方形，有DCBC. BC平面PDC. 而DE平面PDC，BCDE. 由和且PCBCC可推得DE平面PBC. 而PB平面PBC，DEPB. 又EFPB且DEEFE， PB平面EFD.,(3)解 由(2)知，PBDF. 故EFD是二面角CPBD的平面角 由(2)知DEEF，PDDB. 设正方形ABCD的边长为a，,思想方法 1证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为90. (2)平面几何中证明线线垂直的方法 (3)线面垂直的性质：a，bab. (4)线面垂直的性质：a，bab.,2空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决,易错防范 1在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意口诀：线不在多，重在相交 2面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么、后证明什么.,
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