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2.3 映射的概念,映射的概念 一般地,设A,B是两个非空集合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射.记作f:AB. 交流1 映射与函数有什么关系?函数是映射吗? 提示映射与函数的区别:映射f:AB,其中A,B是两个“非空集合”,而函数y=f(x),xA为“非空的实数集”,其值域也是实数集.联系:映射是函数的推广,函数是非空数集到非空数集的一种特殊的映射,对比函数定义与映射定义知,函数是定义域到值域的特殊映射.,交流2 为什么说映射是一种特殊的对应? 提示映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应,就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应,而不允许存在“一对多”的对应.,交流3 (1)根据对应法则f:x2x-1,写出图中给定元素的对应元素. (2)已知映射f:AB,其中集合A=-3,-2,-1,1,2,3,4,集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素,且对任意的aA,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是 . 提示(1)1,3,5 4,5,6 (2)4,典例导学,即时检测,一,二,三,一、映射的概念及判定 判断下列对应关系中,哪些是集合A到B的映射,哪些是函数? (1)A=R,B=非负实数,对应法则f:xy=x2,xA,yB; (2)A=R,B=正实数,对应法则f:xy=x2,xA,yB; (3)A=x|x0,B=R,对应法则f:xx的平方根; (4)A=x|x2,B=y|y=x2-4x+3,对应法则f:xx-3,xA,yB. 思路分析此类题应先从映射的定义出发,主要看第一个集合中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素,若有,再看对应元素是否唯一,至于B中每一个元素是否都有原象则不作要求.,典例导学,即时检测,一,二,三,解(1)是映射,也是函数.因为集合A中的每一个元素在集合B中都能找到唯一的元素与之对应.又A、B均为非空数集,所以该映射是函数. (2)不是集合A到B的映射,更不是函数,因为集合A中元素0,在集合B中无对应元素. (3)不是集合A到B的映射,也不是函数,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任一元素,在集合B中都有两个元素与之对应,所以不是映射. (4)是映射,也是函数.因为当x2时,x-3-1,而y=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,所以对集合A中每一个元素,在集合B中都有唯一元素与之对应.A,B是非空数集,所以该对应既是映射,又是函数.,典例导学,即时检测,一,二,三,判断下列对应关系,哪些是集合A到B的映射,哪些不是?为什么? (导学号51790059) (1)A=B=N*,f:x|x-3|; (2)A=0,1,2,9,B=0,1,4,9,64,f:x(x-1)2; (3)A=B=R,f:xx; (4)A=x|x是三角形,B=R,f:xx的面积.,典例导学,即时检测,一,二,三,解(1)对于集合A中的元素3,在f作用下得0B,即3在集合B中没有对应元素,所以不是映射. (2)在f作用下,集合A中的0,1,2,9分别对应到集合B中的1,0,1,64,所以是映射. (3)对于集合A中元素1,在f作用下得1,该对应是“一对多”,故不是映射. (4)对于集合A中的每一个三角形,在f作用下,都有唯一的一个面积相对应,所以是映射.,典例导学,即时检测,一,二,三,映射的判断要严格按照定义,映射定义包括如下性质:方向性:映射中对应法则是有方向的,一般来说,集合A到集合B与集合B到集合A的映射是不同的.非空性:集合A,B必须是非空集合.唯一性:对集合A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应.存在性:即A中每一个元素在B中都有象.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、映射中的对应元素的确定 已知映射f:AB,A=B=(x,y)|xR,yR,f:A中元素(x,y)对应B中元素(3x-2y+1,4x+3y-1).(导学号51790060) (1)求A中元素(1,2)与B中的哪个元素对应? (2)A中哪个元素与B中元素(1,2)对应? 思路分析根据所给的映射的对应法则去直接求或构造方程组,求解可得.,典例导学,即时检测,一,二,三,解(1)由31-22+1=0,41+32-1=9得到集合B中与集合A中元素(1,2)对应的元素为(0,9). (2)设集合A中与集合B中元素(1,2)对应的元素为(x,y),典例导学,即时检测,一,二,三,已知A=(x,y)|x,yR,B=(x,y)|x,yR. f:AB,且f:(x,y)(x+y,x-y). (1)求集合A中元素(1,3)在集合B中的对应元素; (2)求集合B中元素(2,4)在集合A中的对应元素. 解(1)x=1,y=3,x+y=4,x-y=-2. 集合A中元素(1,3)在集合B中的对应元素为(4,-2). (2)设集合B中元素(2,4)在集合A中的对应元素为(x,y),则 集合B中元素(2,4)在集合A中的对应元素为(3,-1).,典例导学,即时检测,一,二,三,由映射中一个集合的元素求出与之对应的另一个集合中的元素,解决这类问题的关键是紧扣定义.具体地说,就是若已知A中的元素a,求B中与之对应的元素b,这时只要将元素a代入对应法则f求解即可;若已知B中的元素b,求A中与之对应的元素a,这时需构造方程(组)进行求解即可,这时需注意解得的结果可能有多个.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、求映射的个数 已知集合A=1,2,3,B=a,b,设映射f:AB,且B中的元素都与A中的元素对应,则这样的映射有 个. 思路分析根据映射的概念,一一列举出所有的情况即可. 答案:6,典例导学,即时检测,一,二,三,解析:A中的元素必与B中的元素对应,B中的元素都与A中的元素对应,满足条件的映射如图所示. 故所求的映射有6个.,典例导学,即时检测,一,二,三,设集合A=a,b,c,B=0,1,试问:从集合A到集合B的映射共有几个?试将它们分别表示出来. (导学号51790061) 解集合A中有3个元素,集合B中有2个元素, 集合A到集合B的映射共有23=8(个),它们分别是:,典例导学,即时检测,一,二,三,求映射个数的常用方法有“穷举法”和“列表法”.若求由B到A的映射,不要求A中的元素都与B中的元素对应,则可求得这样的映射有9个.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,1.下图中表示的是从集合X到集合Y的对应,其中能构成映射的是( ). 答案:A 解析:图象中必须满足对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,2.给出下列四个对应,是映射的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:是映射.中,A中的元素c没有对应象,中出现“一对多”不是映射.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,3.(2016福建福州长乐一中高一月考)在映射f:AB中,A=B=(x,y)|x,yR,且f:(x,y)(x-y,x+y),则与A中的元素(-1,2)对应的B中的元素为( ). (导学号51790062) A.(-3,1) B.(1,3) C.(-1,-3) D.(3,1) 答案:A 解析:x-y=-1-2=-3,x+y=-1+2=1,与A中的元素(-1,2)对应的B中的元素为(-3,1).,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,4.集合A=1,2,3,B=3,4,从A到B的映射f满足f(3)=3,则这样的映射共有 个. 答案:4,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,5.已知A=a,b,B=0,1,用图示法表示所有A到B的映射. 解共4个,如图所示:,
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