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第6节 正弦定理和余弦定理及应用,.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 .能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,整合主干知识,1正弦、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin C,2Rsin B,sin Asin Bsin C,质疑探究1：在三角形ABC中，“AB”是“sin Asin B”的什么条件？“AB”是“cos AB”是“sin Asin B”的充要条件，“AB”是“cos Ac2”是“ABC为锐角三角形”的什么条件？ 提示：“a2b2c2”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件,3在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：,4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图),上方,下方,(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等 (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图) (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值,答案：C,2在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c22a22b2ab，则ABC是( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形,答案：A,答案：2,5某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60，则山的高度BC为_ m. 解析：过点D作DEAC交BC于E，因为DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150. 又BAD453015， 故ABD15，由正弦定理得,聚集热点题型,利用正、余弦定理解三角形,思路点拨 (1)在三角形中利用余弦定理求边长； (2)利用正弦定理得出弦之间的关系，再利用商数关系化为正切,名师讲坛 1.利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角,2利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的,利用正、余弦定理判断三角形形状,名师讲坛判断三角形的形状的基本思想是： 利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化 为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系结论一般为特殊的三角形如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等另外，在变形过程中要注意A、B、C的范围对三角函数值的影响,变式训练 2(2015昆明模拟)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos 2B8cos B50，求角B的大小，并判断ABC的形状 解：方法一：因为2cos2 B8cos B50， 所以2(2cos2B1)8cos B50. 所以4cos2B8cos B30， 即(2cos B1)(2cos B3)0.,与三角形面积有关的问题,思路点拨 (1)利用BCA，及降幂公式转化已知等式为求cos A的值 (2)利用面积为定值，当底最小时高为最大,即a(1cos C)c(1cos A)3b. 由正弦定理得： sin Asin Acos Csin Ccos Asin C3sin B， 即sin Asin Csin(AC)3sin B， sin Asin C2sin B. 由正弦定理得，ac2b，故a，b，c成等差数列,典例赏析4 (2015石家庄模拟)如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具,解三角形的实际应用,若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：AEF，AFE，CEF，CFE，AEC.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果 思路点拨此题要求既写出测量方法又写出计算公式将立体图形逐步分割转化为三角形AEF，CEF和ACE中，求AC.,名师讲坛 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理,备课札记 _,提升学科素养,(理)解三角形问题,(注：对应文数热点突破之二十),(12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列 (1)求cos B的值； (2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值 审题视角 根据三角形内角和定理可直接求得B；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解 满分展示,温馨提醒 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断 (2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向,1两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换 2三类问题 (1)两角及一边，可用正弦定理 (2)一角及两边，可用正弦定理或余弦定理 (3)三边，可用余弦定理,3四个步骤 (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系 (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型 (3)选择正弦定理或余弦定理求解 (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求,
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