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第1课时 函数的概念和定义域,第2章 2.1.1 函数的概念和图象,1.理解函数的概念. 2.了解构成函数的要素. 3.会求一些简单函数的定义域和函数值.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 函数的概念,设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的 ，在集合B中都有 的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为 . 其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域.,每一,yf(x)，xA,唯一,答案,个元素x,知识点二 函数的三要素,函数的三个要素：定义域，对应法则，值域. (1)定义域 定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合. (2)对应法则 对应法则f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域y|yf(x)且xA中唯一确定的y与之对应.,(3)值域 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它的值域也会随之确定.,答案,思考 (1)符号“yf(x)”中“f”的意义是什么？,答 符号“yf(x)”中“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样.例如yf(x)x2中，“f”表示的对应法则为因变量y等于自变量x的平方，从而f(a)a2，f(x1)(x1)2，而函数yf(x)2x中，“f”表示的对应法则为因变量y等于自变量x的二倍，从而f(a)2a，f(x1)2(x1).,答案,思考 (2)有人认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？,答 这种看法不对. 符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.,答案,思考 (3)f(x)与f(a)有何区别与联系？,答 f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)3x4，当x8时，f(8)38428是一个常数.,如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数相等.,知识点三 函数相等,定义域,对应法则,思考 函数yx2x与函数yt2t相等吗？,答 相等，这两个函数定义域相同，都是实数集R，而且这两个函数的 对应法则也相同，因此这两个函数相等.函数相等与否与自变量用什么字 母没有关系，只是习惯上自变量用x表示.,答案,返回,解析答案,反思与感悟,题型探究 重点突破,例1 设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有_.,题型一 函数概念的应用,解析 错，x2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性. 对，同时满足任意性与唯一性. 错，x2时，对应元素y3N，不满足任意性. 错，x1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.,反思与感悟,答案 ,(1)判断一个对应法则是不是函数关系的方法：A，B必须都是非空数集；A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应. 注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余. (2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 下列对应或关系式中是A到B的函数的有_. AR，BR，x2y21； A1,2,3,4，B0,1，对应关系如右图：,答案 ,题型二 求函数的定义域,解析答案,解析答案,反思与感悟,解 要使函数有意义，必须满足|x|x0，即|x|x， x0. 函数的定义域为x|x0.,(1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；分式中分母不能为0；零次幂的底数不为0；如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况. (2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.,反思与感悟,解析答案,解 由于00无意义，故x10，即x1. 又x20，x2，所以x2且x1.,解析答案,题型三 求函数值,解析答案,反思与感悟,解 g(3)32211，,(2)求f(g(3)的值.,求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f(g(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f(g(x)与g(f(x)的区别.,反思与感悟,解析答案,(2)求f(f(1).,抽象函数定义域理解错误致误,易错点,解析答案,例4 已知函数f(3x1)的定义域为1,7，求函数f(x)的定义域.,易错警示,错解 因为f(3x1)的定义域为1,7， 即13x17，解得0x2， 所以f(x)的定义域为0,2.,错解分析 对定义域是自变量x的取值范围理解错误.,易错警示,正解 令3x1t，则4t22， 即f(t)中，t4,22， 故f(x)的定义域为4,22.,易错警示 (1)已知f(x)的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知(x)的取值范围为A，求x的取值范围. (2)已知f(x)的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(x)中x的取值范围为B，求(x)的取值范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域.若不能正确理解(x)与x的关系将导致错误.,跟踪训练4 若f(x)的定义域为3,5，求(x)f(x)f(x)的定义域.,解析答案,返回,解 由f(x)的定义域为3,5，得(x)的定义域需满足,解得3x3. 所以函数(x)的定义域为3,3.,当堂检测,1,2,3,4,5,1.下列图形中，不可能是函数yf(x)的图象的是_.,解析答案,解析 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，不正确.,1,2,3,4,5,解析 中的函数定义域不同； 中yx0的x不能取0； 中两函数的对应法则不同，故选.,解析答案,1,2,3,4,5,得x1且x2.,解析答案,x|x1且x2,1,2,3,4,5,4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x1)f(x)1，f(0)1，则f(5)_.,解析答案,解析 f(1)f(0)1112， f(2)f(1)13， f(3)f(2)14， f(4)f(3)15， f(5)f(4)16.,6,1,2,3,4,5,解析答案,解 f(2)22215，,(2)若f(x)5，求x的值.,解 f(x)x2x15， x2x60， x2，或x3.,课堂小结,对函数相等的概念的理解： (1)函数有三个要素：定义域、值域、对应法则.函数的定义域和对应法则共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应法则不一定相同.如yx与y3x的定义域和值域都是R，但它们的对应法则不同，所以是两个不同的函数,返回,
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