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高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，高考对导数计算的要求贯穿于与导数有关的每一道题目之中，多涉及三次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数以及由这些函数复合而成的一些函数的求导问题；函数的单调性、极值、最值均是高考命题的重点内容，在填空、解答题中都有涉及，试题难度不大运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，利用导数求解函数的最值，解决实际生活中的优化问题，在历年高考函数应用题中都有体现另外，在压轴题中常考查导数与含参不等式、方程、解析几何等方面的综合应用等，且难度往往较大,热点一 利用导数解决函数的单调性问题 函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用导数f(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性这类问题主要有两种考查方式：(1)判断函数f(x)的单调性或求单调区间(2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围,构建模板 求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 第一步：求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)； 第二步：求函数f(x)的导数f(x)； 第三步：根据f(x)0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论； 第四步：求解(令f(x)0或令f(x)0)； 第五步：下结论,探究提高 讨论含参函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论，注意根据对应方程解的大小进行分类讨论,【训练1】 已知函数f(x)(a1)ln xax21，求函数f(x)的单调区间,探究提高 求解此类由函数单调性确定参数取值范围问题的关键在于根据函数的符号变化确定参数所满足的条件，函数在指定区间内不单调也就是导函数在指定区间内符号发生变化，此类问题的求解，一般是利用补集思想，先求函数在指定区间内单调时对应的参数取值范围，然后求解补集，也可根据导函数图象的特征列出对应的条件,【训练2】 已知函数f(x)exln xaex(a0) (1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线xey10垂直，求实数a的值； (2)若函数f(x)在区间(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围,热点二 利用导数求解函数的极值、最值 用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念，需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点；其次，要区分极值与最值，函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念,【例3】 (2014南京外国语学校、金陵中学联考)已知函数f(x)axxln x的图象在点xe(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3. (1)求实数a的值； 解 (1)因为f(x)axxln x， 所以f(x)aln x1. 因为函数f(x)axxln x的图象在点xe处的切线斜率为3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1.,探究提高 求解此类问题的关键在于正确理解最值的求解、判断的方法，将其转化为函数的单调性问题求解，对于由函数的极值求解含参问题要注意结合导函数图象的性质进行分析，函数有极值点，则其导函数的图象必须穿过x轴，而若导函数的图象与x轴有公共点，则该函数不一定有极值点,(1)当x1时，f(x)取得极值，求a 的值； (2)求f(x)在0,1上的最小值 解 因为f(x)x2a， (1)当x1时，f(x)取得极值，所以f(1)1a0，a1， 又当x(1,1)时，f(x)0； x(1，)时，f(x)0， 所以f(x)在x1处取得极小值，即a1时符合题意,热点三 构造函数法求解不等式恒成立问题 函数与导数的试题，在每年的高考中属于必考内容，一般为压轴题，主要围绕函数的单调性、极值、最值、不等式恒成立等问题展开，此类压轴试题难度较大，对逻辑推理能力要求较强，不可小视,【例4】 (2015南通模拟)已知函数f(x)xln x(x1)(axa1)(aR) (1)若a0，判断函数f(x)的单调性； (2)若x1时，f(x)0恒成立，求a的取值范围 解 (1)若a0，则f(x)xln xx1，f(x)ln x， x(0,1)时，f(x)0，f(x)为减函数； x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数,(2)依题意知xln x(x1)(axa1)0在(1，)上恒成立 若a0，则f(x)xln xx1， f(x)ln x， x(1，)时，f(x)0， f(x)为增函数，f(x)f(1)0， 即f(x)0不成立， a0不合题意,探究提高 求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解,【训练4】 (2014江苏卷)已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数 (1)证明：f(x)是R上的偶函数； (2)若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围； (1)证明 因为对任意xR，都有f(x)exe(x)exexf(x)，所以f(x)是R上的偶函数,
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