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第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)实数的大小顺序与运算性质的关系: ab_; a=ba-b=0; ab_.,a-b0,a-b0,(2)不等式的性质: 对称性:ab_;(双向性) 传递性:ab,bc_;(单向性) 可加性:aba+cb+c;(双向性) ab,cd_;(单向性),ba,ac,a+cb+d,可乘性:ab,c0acbc; ab,cb0,cd0_;(单向性) 乘方法则:ab0anbn(nN,n1);(单向性) 开方法则:ab0 (nN,n2);(单向性),acbd,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)倒数性质：设ab0，则ab (双向性) (2)有关分数的性质： 若ab0,m0,则 ,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法：比较法(作差或作商) (2)数学思想：等价转化思想、放缩思想. (3)记忆口诀：不等式性质的记忆口诀： 对称传递性 同向可加乘 乘乘方开方 不忘两端正,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)两个实数a,b之间,有且只有ab,a=b,ab三种关系中的一种.( ) (2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( ) (3)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( ) (4)同向不等式具有可加和可乘性.( ) (5)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.( ),【解析】(1)正确.两个实数a,b之间的大小关系只有三种ab,a=b 或a-4. (5)正确.当这个比值中的分母小于零时,分子小于分母,当这个比值中的分母大于零时,分子大于分母. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修5 P74T3改编)下列四个结论，正确的是( ) ab，cbd； ab0，cbd； ab0 ab0 A B C D,【解析】选D.利用不等式的同向可加性可知正确；对根据不等式 的性质可知acbd,故不正确;因为函数 是单调递增的,所以 正确；对由ab0可知a2b20,所以 所以不正确.,(2)(必修5P75B组T1改编)下列各组代数式的判断正确的是 . x2+5x+61时,x3x2-x+1; x2+y2+12(x+y-1).,【解析】2x2+5x+9-x2-5x-6=x2+30; 所以x2+5x+6(x-2)(x-4),故错误. 当x1时,x3-(x2-x+1)=(x-1)(x2+1)0, 所以当x1时,x3x2-x+1;故正确. x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+10, 所以x2+y2+12(x+y-1),故正确. 答案:,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014四川高考)若ab0，c-d0， 即得 又ab0，得 从而有,(2)(2013北京高考)设a,b,cR,且ab,则( ) A.acbc B. C.a2b2 D.a3b3 【解析】选D.y=x3在(,+)上为增函数，所以a3b3.,(3)(2015东莞模拟)设a,bR,若a+|b|0 B.a3+b30 C.a2-b20 D.a+b0 【解析】选D.因为a+|b|0, 所以|b|-a, 所以b-a,所以a+b0.,考点1 比较大小 【典例1】(1)(2015长春模拟)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2, c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( ) A.cba B.acb C.cba D.acb (2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是 .,【解题提示】(1)用作差法比较大小. (2)构造函数利用函数的性质比较大小. 【规范解答】(1)选A.因为cb44aa2(2a)20， 所以cb.将题中两式作差得2b22a2，即b1a2. 因为 所以1a2a， 所以b1a2a.所以cba.,(2)令 则f(x)= 当xe时，f(x)f(b), 即 bln aaln babba. 答案：abba,【互动探究】本例(2)若条件变为a0,b0,且ab,试比较aabb与abba的大小. 【解析】 当ab0时， ab0， 则 所以aabbabba； 当ba0时， 则 所以aabbabba； 综上知aabbabba.,【规律方法】比较大小常用的方法 (1)作差法,其步骤:作差变形判断差与0的大小得出结论. 注意:含根号的式子作差时一般先乘方再作差. (2)作商法,其步骤:作商变形判断商与1的大小得出结论. (3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.,【变式训练】(2014肇庆模拟)实数a,b,c满足下列三个条件:dc;a+b=c+d;a+d0,得bd,又dc,故acdb. 答案:acdb,【加固训练】若实数a1，比较a2与 的大小. 【解析】 因为 所以(a2a1)0，即a1时，,则有 当1a1时， 则有 综上知，当a1时，,考点:利用不等式(组)表示不等关系 【典例】某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式组. 【解题提示】设出甲、乙两种产品的产量,再根据设备A,B的有效使用时数,与甲、乙两种产品使用设备A,B的工时数的关系列不等式组.,【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x件，y件， 由题意可知，,【规律方法】利用不等式(组)表示不等关系的关键和注意点 (1)关键:准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言(如不等式). (2)注意点:注意“不超过”“至少”“低于”表示的不等关系,同时还应考虑变量的实际意义.,【变式训练】已知甲、乙、丙三种食物中维生素A,B含量及成本如表: 设用甲、乙、丙三种食物各xkg,ykg,zkg配成100kg的混合食物,并使 混合物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B. 试用x,y表示混合食物成本C元,并写出x,y所满足的不等关系.,【解析】依题意,得C=11x +9y+4z, 又x+y+z=100,所以C=400+7x+5y 由 及z=100-x-y,得 所以x,y所满足的不等关系为,【加固训练】将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系. 【解析】由题意知,考点2 不等式性质及其应用 知考情 利用不等式性质进行命题的判断是经常考查的考向,另外,不等式性质与充要条件相结合判断条件是一个重要的考向,主要以选择题和填空题为主.,明角度 命题角度1：不等式是否成立的判断 【典例2】(2015银川模拟)设ab1，c0，给出下列三个结论: acbc;logb(a-c)loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是( ) A. B. C. D. 【解题提示】由不等式的性质可得正确，由幂函数的单调性可得 正确，引入中间变量loga(a-c)可得正确.,【规范解答】选D.对,ab1,所以 又因为cb1,所以acb1,c0,所以a-cb-c1, 所以logb(a-c)loga(a-c)loga(b-c)正确,故选D.,命题角度2:充要条件的判断 【典例3】设xR,则“x2-3x0”是“x4”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题提示】求出不等式x2-3x0的解集,根据“小范围”“大范围”可判断. 【规范解答】选B.由x2-3x0得x3或x0是x4的必要而不充分条件,故选B.,悟技法 1.判断不等式命题真假的方法 (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假. 2.充要条件的判断方法 利用两命题间的关系,看p能否推出q,再看q能否推出p,充分利用不等式性质或特值求解.,通一类 1.(2015合肥模拟)已知a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中不一定成立的是( ) 【解析】选C.因为cba且ac0，所以c0，a0， 所以 但b2与a2的关系不确定，故 不一定成立,2.(2014山东高考)已知实数x,y满足axln(y2+1) C.sin xsin y D.x3y3 【解题提示】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断x,y的大小，然后判断每个选项.,【解析】选D.由axy,所以,3.(2015杭州模拟)已知aR,则“a2”是“a22a”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选A.因为当“a2”成立时,a2-2a=a(a-2)0, 所以“a22a”成立, 即“a2a22a”为真命题; 而当“a22a”成立时,a2-2a=a(a-2)0,即a2或a2不一定成立, 即“a22aa2”为假命题; 故“a2”是“a22a”的充分不必要条件, 故选A.,4.(2015济南模拟)若a0b-a,cbc; a-cb-d;a(d-c)b(d-c)中正确的是. 【解析】因为a0b,c0,所以ad0b-a,所以a-b0,因为c-d0,cd0,所 以a(-c)(-b)(-d),所以ac+bd-d,因为ab,所以a-cb-d，所以正确.因为 a0b,d-c0,所以a(d-c)b(d-c),所以正确. 答案：,自我纠错13 不等式性质的应用 【典例】设f(x)=ax2+bx,若1f(-1)2,2f(1)4, 则f(-2)的取值范围是_.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f(-2)的范围扩大.,【规避策略】用不等式性质求代数式取值范围的途径 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围,是避免错误的有效途径.,【自我矫正】方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得 解得 所以f(-2)=3f(-1)+f(1). 又因为1f(-1)2,2f(1)4, 所以53f(-1)+f(1)10, 故5f(-2)10.,方法二:由f(x)=ax2+bx得f(-1)=a-b, f(1)=a+b, 由+得2a=f(1)+f(-1), 由-得2b=f(1)-f(-1), 从而f(-2)=4a-2b=2f(1)+f(-1)-f(1)-f(-1)=3f(-1)+f(1). 因为1f(-1)2,2f(1)4,所以31+23f(-1)+f(1)32+4, 所以53f(-1)+f(1)10. 所以f(-2)的取值范围是5f(-2)10,即f(-2)的取值范围是5,10. 答案:5,10,
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