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第九节 函数模型及其应用,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)几种常见的函数模型:,(2)三种函数模型性质比较:,增,增,增,快,慢,y,x,(3)解决实际应用问题的一般步骤: 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; 建模:将自然语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; 求模:求解数学模型,得出数学结论; 还原:将数学问题还原为实际问题.,以上过程用框图表示如下:,2.必备结论 教材提炼 记一记 “f(x)=x+ (a0)”型函数模型 形如f(x)=x+ (a0)的函数模型称为“对勾”函数模型:该函 数在(-,- 和 ,+)上单调递增,在- ,0)和(0, 上单 调递减. 当x0时,x=_时取最小值_, 当x0时,x=_时取最大值_.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:图象法、导数法、配方法、待定系数法. (2)数学思想:函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)函数y=2x的函数值在(0,+)上一定比y=x2的函数值大.( ) (2)在(0,+)上,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a0)的增长速度.( ),(3)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0,b1)增长速度越来越快的形象比喻.( ) (4)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题中.( ),【解析】(1)错误.当x(0,2)和(4,+)时,2xx2,当x(2,4)时,x22x. (2)正确.由两者的图象易知. (3)错误.增长越来越快的指数型函数是y=abx+c(a0,b1). (4)正确.根据指数函数y=ax(a1)函数值增长特点知(4)正确. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表: 则x,y最适合的函数的是( ) A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x,【解析】选D.根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.,(2)(必修1P107A组T3改编)一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( ) 【解析】选B.由题意知h=20-5t(0t4),故选B.,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015泉州模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函 数关系是y=3000+20x-0.1x2(0x240,xN*),若每台产品的售价为25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 【解析】选C.设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-30000,所以x150.,(2)(2015武汉模拟)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.,【解析】由lg1000-lg0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lg A9-lg0.001=9解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍. 答案:6 10000,考点1 一次函数、二次函数模型 知考情 以一次函数、二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中,尤其是二次函数,考查较多,既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中,属中档题.,明角度 命题角度1:单一考查一次函数或二次函数模型 【典例1】(1)(2015西安模拟)某电信公司推出两 种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月 租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话 费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这 两种方式电话费相差( ) A.10元 B.20元 C.30元 D. 元,(2)(2015昆明模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 m.,【解题提示】(1)根据对应点的坐标分别求出两条直线方程. (2)根据相似三角形的性质,找出比例关系,列出以x为变量的二次函数式表示出阴影部分的面积。,【规范解答】(1)选A.依题意可设sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又sA(100)=sB(100),所以100k+20=100m, 得k-m=-0.2,于是sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150 (-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差10元.,(2)由相似三角形性质可得 ,解得y=40-x,所以面积 S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0x40), 当x=20时,Smax=400. 答案:20,【互动探究】在本例(2)中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形 花园,则其边长x的取值范围又是多少呢? 【解析】 ,则x=40-y,y=40-x.由xy300, 即x(40-x)300,解得10x30.,命题角度2:以分段函数的形式考查一次函数和二次函数模型 【典例2】(2015厦门模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.,(1)当0x200时,求函数v(x)的表达式. (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时),【解题提示】(1)根据已知条件,确定0x200时v(x)的表达式. (2)确定0x20及20x200时,v(x)的分段函数,根据函数的性质确定f(x)=xv(x)的最大值.,【规范解答】(1)由题意,当0x20时,v(x)=60;当20x200时, 设v(x)=ax+b, 再由已知得 解得 故函数v(x)的表达式为v(x)=,(2)依题意并由(1)可得f(x)= 当0x20时,f(x)为增函数, 故当x=20时,其最大值为6020=1200; 当20x200时,f(x)= x(200x) 当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以当x=100时,f(x)在区间(20,200上取得最 大值 3333. 综上,当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333辆/时.,悟技法 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型.解决此类问题应注意三点: 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错; 确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; 解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.,(2)以分段函数的形式考查.解决此类问题应关注以下三点: 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解; 构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏; 分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者).,提醒:(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域. (2)对构建的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.,通一类 1.(2015盐城模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为 .,【解析】依题意知: 即x= (24-y), 所以阴影部分的面积 S=xy= (24-y)y= (-y2+24y), 所以当y=12时,S有最大值为180. 答案:180,2.(2015福州模拟)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:如果不超过200元,则不予优惠;如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;如果超过500元,其中500元按第条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为 .,【解析】依题意,价值为x元的商品和实际付款数f(x)之间的函数关系 式为 当f(x)=168时,由1680.9187200,故此时x=168;当f(x)=423时, 由4230.9=470(200,500,故此时x=470.所以两次共购得价值为 470+168=638元的商品,又5000.9+(638-500)0.7=546.6元,即若 一次性购买上述商品,应付款额为546.6元. 答案:546.6元,3.(2015日照模拟)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?,【解析】(1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)=k1x,g(x)=k2 . 由已知得f(1)= =k1,g(1)= =k2, 所以f(x)= x(x0),g(x)= (x0).,(2)设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为(20-x)万元, 依题意得y=f(x)+g(20-x)= (0x20). 令t= 则y= 所以当t=2,即x=16时,收益最大,ymax=3万元. 投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元,可使投资获得最大 收益,最大收益为3万元.,【加固训练】1.(2014武汉模拟)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元,成本为C(x)元,且R(x)=3000x-20x2, C(x)=500x+4000 (xN*).现已知该公司每月生产该产品不超过100台. (1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x). (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.,【解析】(1)由题意,得x1,100,且xN*. P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000) =-20x2+2500x-4000, MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x.,(2)P(x)= +74125, 当x=62或x=63时,P(x)取得最大值74120元; 因为MP(x)=2480-40x是减函数,所以当x=1时, MP(x)取得最大值2440元. 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71680元.,2.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).,(1)当t=4时,求s的值. (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来. (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.,【解析】(1)由图象可知:当t=4时,v=34=12(km/h), 所以s= 412=24(km). (2)当0t10时,s= t3t= t2;当10t20时, s= 1030+30(t-10)=30t-150; 当20t35时,s= 1030+1030+(t-20)30- (t-20) 2(t-20)=-t2+70t-550.,综上,可知s= (3)沙尘暴会侵袭到N城.因为t0,10时,smax= 102=150650, t(10,20时,smax=3020-150=450650, 所以当t(20,35时,令-t2+70t-550=650.解得t1=30,t2=40(舍). 所以沙尘暴发生后30h会侵袭到N城.,考点2 函数yx 模型的应用 【典例3】(2015天津模拟)某村计划建造一个室内面积为800m2的 矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通 道,沿前侧内墙保留3m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬 菜的种植面积最大?最大面积是多少? 【解题提示】根据条件设温室的左侧边长为x m,列出种植面积y= (x-4)( -2),然后化简,构建“对勾函数”求解.,【规范解答】设温室的左侧边长为x m,则右侧边长为 m.所以蔬 菜种植面积y=(x-4)( -2) =808-2(x+ )(4x400). 因为x+ 2 =80,所以y808-280=648.当且仅当 x= ,即x=40时取等号,此时 =20,y最大值=648(m2). 即当矩形温室的边长各为40m,20m时,蔬菜的种植面积最大,最大面 积是648m2.,【规律方法】应用函数y=x+ 模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= 叠加而 成的. (2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+ 的模型,有时可以 将所列函数关系式转化为f(x)=ax+ 的形式. (3)利用模型f(x)=ax+ 求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取 得最值时等号成立的条件.,【变式训练】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋 顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)= (0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔 热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式. (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.,【解析】(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,因此f(x)=6x+20C(x) =6x+ (0x10). (2)f(x)=6x+10+ -10 2 -10=70(万元), 当且仅当6x+10= ,即x=5时等号成立.所以当隔热层厚度为 5cm时,总费用f(x)达到最小值,最小值为70万元.,【加固训练】1.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其 生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地 表示为y= -48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成 本. (2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以 获得最大利润?最大利润是多少?,【解析】(1)每吨平均成本为 (万元). 则 当且仅当 ,即x=200时取等号. 所以年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元.,(2)设年获得总利润为R(x)万元. 则R(x)=40x-y=40x- +48x-8000 =- +88x-8000 =- (x-220)2+1680(0x210). 因为R(x)在0,210上是增函数,所以当x=210时, R(x)有最大值为- (210-220)2+1680=1660. 所以年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.,2.某旅游风景区为方便学生集体旅游,特制学生寒假旅游专用卡,每张卡60元,使用规定:不记名,每卡每次一人,每天只限一次,可连续使用一周.实验小学现有1500名学生,准备在寒假分若干批去此风景区旅游(来回只需一天),除需购买若干张旅游卡外,每次都乘坐5辆客车(每辆客车最大客容量为55人),每辆客车每天费用为500元,若使全体同学都到风景区旅游一次,按上述方案,每位同学最少要交多少钱?,【解析】设买x张旅游卡,总费用为y元, 依题意,购买卡需60x元,租车的次数为 ,则租车的 费用为( 5005)元, 所以y=60x+ 5005(00,所以y =30000(元),当且仅当60x= 5005, 即x=250时,y取得最小值为30000元,此时,每人所 需交钱数为 =20(元),旅游所需天数 =67, 每辆车所载人数为 =5055,符合要求. 故每位同学至少要交20元.,考点3 指数函数与对数函数模型 【典例4】(2015长春模拟)某医药研究所开发的 一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测: 服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小 时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后,y与t之间的函数关系式y=f(t). (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时, 治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间是多长?,【解题提示】(1)依据图象写出y=f(t).(2)令y0.25解所得不等式 即可. 【规范解答】(1)由题意可设y= 当t=1时,由y=4得,k=4. 由 =4得,a=3. 因此,y=,(2)由y0.25得, 或 解得 t5. 因此,服药一次后治疗有效的时间是 小时.,【规律方法】应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决. (2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.,【变式训练】(2015商丘模拟)为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 已知加密为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为6,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方接到密文为“14”,则原发的明文是 .,【解析】依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2,解得a=2,所以加密为y=2x-2. 因此,当y=14时,由14=2x-2,解得x=4. 答案:4,【加固训练】1.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况,【解析】选B.设该股民购这支股票的价格为a,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a1.1n,经历n次跌停后的价格为a1.1n(1-10%)n =a1.1n0.9n=a(1.10.9)n=0.99naa,故该股民这支股票略有亏损.,2.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据道路交通安全法规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么,此人至少经过 小时后才能开车.(精确到1小时),【解析】设经过x小时才能开车.由题意得0.3(1-25%)x0.09,所以0.75x0.3,xlog0.750.34.19. 所以此人至少经过5小时后才能开车. 答案:5,3.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百 分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境, 森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为 原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比. (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?,【解析】(1)设每年降低的百分比为x(0x1).则 a(1-x)10= a,即(1-x)10= ,解得x=1- (2)设经过m年剩余面积为原来的 ,则 a(1-x)m= ,即 解得m=5. 故到今年为止,已砍伐了5年.,(3)设从今年开始,以后砍了n年, 则n年后剩余面积为 a(1-x)n. 令 a(1-x)n a,即(1-x)n 解得n15. 故今后最多还能砍伐15年.,4.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现, 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2 ,单位是m/s,其中Q 表示燕子的耗氧量. (1)试计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位? (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?,【解析】(1)由题意知,当燕子静止时,它的速度为0,代入题目所给 公式可得0=5log2 ,解得Q=10, 即燕子静止时的耗氧量为10个单位. (2)将耗氧量Q=80代入公式得 v=5log2 =5log28=15(m/s), 即当一只燕子耗氧量为80个单位时,它的飞行速度为15m/s.,规范解答1 利用函数模型解决实际问题 【典例】(12分)(2015合肥模拟)已知美国苹果公司生产某款 iPhone手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万 美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完, 每万只的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=,(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式. (2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.,解题导思 研读信息 快速破题,规范解答 阅卷标准 体会规范 (1)当040时,W=xR(x)-(16x+40) =- -16x+7360. 所以， 4分,(2)当040时,W=- -16x+7360, 由于 +16x =1600, 10分 当且仅当 =16x, 即x=50(40,+)时,取等号, 所以W取最大值为5760.,综合知, 当x=32时,W取最大值为6104万元. 12分,高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.解答数学应用题的关键有两点 一是认真审题,读懂题意,理解问题的实际背景,将实际问题转化为数学问题;二是灵活运用数学知识和方法解答问题,得到数学问题中的解,再把结论转译成实际问题的答案.,2.解答数学应用题的失误与防范 (1)函数模型应用不当,是常见的解题错误,所以,正确理解题意,选择适当的函数模型. (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. (3)注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证这个数学解答对实际问题的合理性.,
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