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第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数与映射的概念:,非空数集,任意,唯一确定,非空集合,任意一个,唯一确定,(2)函数的三要素: 函数由定义域、_和值域三个要素构成,对函数y=f(x), xA,其中 定义域:_的取值范围; 值域:函数值的集合_. (3)函数的表示法: 表示函数的常用方法有:_、_、_.,对应关系,自变量x,f(x)|xA,解析法,列表法,图象法,(4)分段函数: 若函数在定义域的不同子集上,因_不同而分别用几个不同 的式子来表示,这种函数称为分段函数.,对应关系,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)映射:映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数; 映射的两个特征: 第一:在A中取元素的任意性; 第二:在B中对应元素的唯一性; 映射问题允许多对一,但不允许一对多.,(2)判断两个函数相等的依据是两个函数的_和_完全 一致. (3)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_,其值域等于各 段函数的值域的_,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一 个函数. (4)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.,定义域,对应关系,并集,并集,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:利用待定系数法、换元法、配凑法、消去法确定函数解析式. (2)数学思想:数形结合、分类讨论. (3)记忆口诀:抽象函数不要怕,赋值方法解决它; 分段函数分段算,并到一起保平安.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)函数是建立在其定义域到值域的映射.( ) (2)若函数的定义域和值域相同,则这两个函数是相等函数.( ) (3)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一函数.( ) (4)f(x)= 是一个函数.( ),【解析】(1)正确.函数是特殊的映射. (2)错误.如函数y=x与y=x+1的定义域和值域都是R,但它们的对应关系不同,不是相等函数. (3)正确.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域和对应关系相同. (4)错误.因定义域为空集. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)= 的定义域为( ) A.0,2) B.(2,+) C.0,2)(2,+) D.(-,2)(2,+) 【解析】选C.由题意得 解得x0且x2.,(2)(必修1P25B组T2改编)若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y=f(x)的图象可能是( ),【解析】选B.选项A,定义域为x|-2x0,不正确.选项C,当x在 (-2,2取值时,y有两个值和x对应,不符合函数的概念.选项D,值域 为0,1,不正确,选项B正确.,(3)(必修1P23T2改编)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间 (x)之间的函数图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行 走的路线可能是( ) 【解析】选D.由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意.,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014江西高考)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( ) A.(0,1) B.0,1 C.(-,0)(1,+) D.(-,0)1,+) 【解析】选C.由题意可得x2-x0,解得x1或x0,故所求的定义域为 (-,0)(1,+).,(2)(2015岳阳模拟)已知函数f(x)= .若f(a)=3,则实数 a= . 【解析】因为f(a)= =3,所以a-1=9,即a=10. 答案:10,(3)(2014上海高考)设f(x)= 若f(2)=4,则a的取值 范围为 . 【解析】因为f(2)=4,所以2a,+),所以a2,则a的取值范围为 (-,2. 答案:(-,2,考点1 求函数的定义域 【典例1】(1)(2014山东高考)函数f(x)= 的定义域 为( ) A.(0, ) B.(2,+) C.(0, )(2,+) D.(0, )2,+),(2)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为 ( ) A.(-1,1) B.(-1,- ) C.(-1,0) D.( ,1),【解题提示】(1)根据解析式,构建使其有意义的不等关系求解. (2)明确函数f(x)中的x与函数f(2x+1)中2x+1的关系,列不等式求解. 【规范解答】(1)选C.(log2x)2-10,即log2x1或log2x2 或0x .故所求的定义域为(0, )(2,+).,【一题多解】解答本题,还有以下解法 选C.令x= ,则(log2 )2-1=30,排除B.令x=4,则(log24)2-1=30, 所以排除选项A.令x=2,则(log22)2-1=0,排除D.故选C. (2)选B.由函数f(x)的定义域为(-1,0),则使函数f(2x+1)有意义, 需满足-12x+10,解得-1x- ,即所求函数的定义域为(-1,- ).,【互动探究】若本例(2)中条件变为:“函数f(x-1)的定义域为 (-1,0)”,则结果如何? 【解析】因为f(x-1)的定义域为(-1,0),即-1x0,所以-2x-1-1, 故f(x)的定义域为(-2,-1),则使函数f(2x+1)有意义,需满足-22x+1 -1,解得- x-1.所以f(2x+1)的定义域为(- ,-1).,【规律方法】 1.求函数定义域的类型及方法 (1)已知函数的解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)抽象函数:若已知函数f(x)的定义域为a,b,则函数f(g(x)的 定义域由不等式ag(x)b求出; 若已知函数f(g(x)定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在 xa,b时的值域.,2.求函数定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化. (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集. (3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接.,【变式训练】(2015银川模拟)函数f(x)= +lg(3x+1)的定义 域是( ) 【解析】选B.依题意得: 解得- x1,所以函数定义域为 (- ,1).,【加固训练】1.已知函数f(2x)的定义域为-1,1,则f(x)的定义域 为 . 【解析】因为f(2x)的定义域为-1,1, 所以 2x2,即f(x)的定义域为 ,2. 答案: ,2,2.(2015揭阳模拟)函数y= 的定义域为 . 【解析】要使函数有意义,需 即 即 解得0x1,所以定义域为(0,1. 答案:(0,1,考点2 求函数的解析式 【典例2】(1)已知f( +1)=x+2 ,则f(x)= . (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 则f(x)= .,【解题提示】(1)利用换元法求解. (2)已知函数类型,用待定系数法求解. 【规范解答】(1)设t= +1, 则x=(t-1)2(t1); 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故f(x)=x2-1(x1). 答案:x2-1(x1),【一题多解】解答本题,还有以下解法: 因为x+2 =( )2+2 +1-1=( +1)2-1, 所以f( +1)=( +1)2-1( +11), 即f(x)=x2-1(x1). 答案:x2-1(x1),(2)因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a0),所以3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=2x+17.即ax+(5a+b)=2x+17, 因此应有 解得 故f(x)的解析式是f(x)=2x+7. 答案:2x+7,【易错警示】解答本例(1)有以下易错点 本例第(1)题利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数解析式定义域扩大而致误.,【规律方法】求函数解析式的常用方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.,(3)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意 新元的取值范围. (4)解方程组法:已知关于f(x)与f( )或f(-x)的表达式,可根据已知 条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).,【变式训练】(2015济南模拟)已知f(x)满足2f(x)+f( )=3x, 则f(x)= . 【解析】因为2f(x)+f( )=3x, 所以将x用 替换,得2f( )+f(x)= , 由解得f(x)=2x- (x0), 即f(x)的解析式是f(x)=2x- (x0). 答案:2x- (x0),【加固训练】1.已知f( +1)=lg x,则f(x)= . 【解析】令 +1=t得x= ,代入得f(t)=lg , 又x0,所以t1,故f(x)的解析式是f(x)=lg (x1). 答案:lg (x1),2.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f(x)=2x+2,则f(x)= . 【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则f(x)=2ax+b=2x+2, 所以a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c. 又因为方程f(x)=0有两个相等实根, 所以=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1. 答案:x2+2x+1,3.(2013安徽高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).当 0x1时,f(x)=x(1-x),则当-1x0时,f(x)= . 【解析】当0x1时,f(x)=x(1-x),当-1x0时,0x+11,所以 f(x+1)=(x+1)1-(x+1)=-x(x+1),而f(x)= f(x+1)=- x2- x. 所以当-1x0时,f(x)=- x2- x. 答案:- x2- x,考点3 分段函数及应用 知考情 分段函数作为考查函数知识的最佳载体,以其考查函数知识容量大成为高考命题的热点,试题常以选择题、填空题形式出现,考查求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性质等问题.解题过程中常渗透分类讨论的数学思想.,命题角度1:求分段函数的函数值 【典例3】(2015厦门模拟)设函数f(x)= 则f(f(3)=( ),明角度,【解题提示】根据自变量的值选择相应的对应关系求值,先求出f(3), 然后再求出f(f(3)的值. 【规范解答】选D.因为f(3)= ,所以f(f(3)=,命题角度2:求解分段的方程、不等式 【典例4】(2014浙江高考)设函数f(x)= 若f(f(a)=2,则a= . (本题源于教材必修1P45T4),【解题提示】根据自变量的取值分两种情况进行讨论,列出方程 进行求解. 【规范解答】当a0时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+10, f(f(a)0时,f(a)=-a20,所以a= . 答案:,悟技法 与分段函数有关问题的类型及求解思路 (1)求分段函数的函数值,根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解,有时各段交替使用求值. (2)求分段方程或分段不等式的解,依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.,通一类 1.(2014江西高考)已知函数f(x)= (aR), 若f(f(-1)=1,则a=( ) A. B. C.1 D.2 【解析】选A.因为-10,所以f(f(-1) =f(2)=a22=1,解得a= .,2.(2015日照模拟)已知函数f(x)= 满足f(a)=3, 则f(a-5)的值为( ) A.log23 B. C. D.1 【解析】选C.分两种情况分析, 或者 无解,由得,a=7,所以f(a-5)=22-3+1=,3.(2014新课标全国卷)设函数f(x)= 则使得f(x)2 成立的x的取值范围是 . 【解析】当x1时,由ex-12可得x-1ln2.即xln2+1,故x1; 当x1时,由f(x)= 2可得x8,故1x8,综上可得x8. 答案:(-,8,4.(2015石家庄模拟)已知函数f(x)= 若f(f(0)=4a, 则实数a= . 【解析】因为f(0)=30+2=2,f(f(0)=f(2)=4+2a=4a,所以a=2. 答案:2,自我纠错3 分段函数的参数求值问题 【典例】(2015郑州模拟)已知实数a0,函数f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为 ( ),【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程出现的错误主要有两个方面: (1)误以为1-a1,没有对a进行讨论直接代入求解. (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误.,【规避策略】 (1)分类讨论思想的应用:对于分段函数的求值问题,若自变量的取值范围不确定,应分情况求解. (2)检验结果:求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求.,【自我矫正】选B.当a0时,1-a1,由f(1-a)=f(1+a) 可得2-2a+a=-1-a-2a,解得a= ,不合题意; 当a1,1+a1, 由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a, 解得a= 故a的值为,
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