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第五节 古 典 概 型,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)基本事件的特点: 任何两个基本事件是_的; 任何事件(除不可能事件)都可以表示成_事件的和.,互斥,基本,(2)古典概型的定义: 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 试验中所有可能出现的基本事件_; 每个基本事件出现的可能性_. (3)古典概型的概率公式: P(A)= .,只有有限个,相等,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)古典概型中的基本事件都是互斥的. (2)任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和. 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:列举法、树状图法等. (2)数学思想:分类讨论思想、转化与化归思想.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同.( ) (2)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( ),(3)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表,那么每个同学当选的可能性相同.( ) (4)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( ) (5)从长为1的线段AB上任取一点C,求满足AC 的概率是多少”是古典概型.( ),【解析】(1)错误.摸到红球的概率为 ,摸到黑球的概率为 ,摸到 白球的概率为 ,所以(1)错.(2)正确.取到小于0的数的概率为 ,取 到不小于0的概率也为 ,所以(2)正确.(3)错误.男同学当选的概率 为 ,女同学当选的概率为 ,所以(3)错.(4)错误.由正方形内点的 个数具有无限性,与古典概型不符,所以(4)错.(5)错误.因为线段上 的点及所取的点不具有古典概型所满足的有限性，所以(5)错. 答案: (1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修3P125例1改编)从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数, 则其和为偶数的基本事件个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】选C.从5个数中取出3个不同的数共有(1,2,3),(1,2,4), (1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5), (3,4,5)10种不同结果,其中和为偶数的有6种结果.,(2)(必修3P145T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中 红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色 不同的概率为 . 【解析】从5个球中任取2个球有 =10(种)取法,2个球颜色不同的 取法有 =6(种),故所求概率为 答案:,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015广东模拟)在圆周上有10个等分点,以这些点为顶点,每3 个点可以构成一个三角形,如果随机选择3个点,刚好构成直角三角形 的概率是( ) 【解析】选C.从10个点中任取三个有 种方法,能构成直角三角形 时,必须有两点连线为直径,这样的直径有5条,因为能构成直角三角 形58=40个,所以概率P=,(2)(2014江苏高考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则 所取2个数的乘积为6的概率是 . 【解析】从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,共有结果为 (1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),所取2个数积为6的共 有(1,6),(2,3)两种结果,故概率为 . 答案:,(3)(2013上海高考)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九 个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示). 【解析】9个数5个奇数,4个偶数,根据题意知,所求概率为1- 答案:,考点1 基本事件及事件的构成 【典例1】有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1颗正四面体玩具底面出现的点数,y表示第2颗正四面体玩具底面出现的点数.试写出:,(1)试验的基本事件. (2)事件“底面出现点数之和大于3”. (3)事件“底面出现点数相等”. 【解题提示】每个基本事件对应着两个数字的一个组合;符合其他条件的事件关键是看两个数字之间的关系.,【规范解答】(1)这个试验的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4). (2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件: (1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (3)事件“底面出现点数相等”包含以下四个基本事件: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4).,【规律方法】古典概型中基本事件的探求方法 (1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的. (2)树状图法:适合较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意在确定基本事件时(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同.有时也可以看成是无序的,如(1,2)(2,1)相同.,【变式训练】1.高一(2)班有4个学习小组,从中抽出2个小组进行作 业检查.在这个试验中,基本事件的个数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选C.设这4个学习小组为A,B,C,D,“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6个.,2.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求: (1)3个矩形颜色都相同的概率. (2)3个矩形颜色都不同的概率.,【解析】所有可能的基本事件共有27个,如图所示.,(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A,由图知事件A的基本事件有 13=3(个),故P(A)= (2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B,由图可知事件B的基本事件有 23=6(个),故P(B)=,【加固训练】甲、乙两人出拳游戏(石头、剪子、布)、所有可能的 基本事件有 个. 【解析】所有可能的基本事件为(石头、石头),(石头、剪子), (石头、布),(剪子、剪子),(剪子、布),(布、布),共6种. 答案:6,考点2 简单的古典概型问题 【典例2】(1)(2014广东高考)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为 . (2)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答).,【解题提示】(1)先列举出所有的基本事件,并计算出其个数,再找出符合条件的事件所含基本事件的个数,然后用概率公式求解. (2)相邻两节文化课最多间隔1节艺术课(含有每2节文化课之间1节艺术课、2节文化课排在一起,3节文化课排在一起).,【规范解答】(1)因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,不考虑 先后顺序共有10种取法,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c), (b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中取到字母a的有4种:(a,b), (a,c),(a,d),(a,e),所求概率为P= 答案:,(2)当每两节文化课之间都有一节艺术课时，共有 72种排法； 当有两节文化课排在一起时，共有 216种排法； 当三节文化课排在一起时，共有 144种排法 所以在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 答案：,【易错警示】解答本题(1)有两点容易出错 (1)列举基本事件时,不按规律列举,导致结果出错. (2)两个字母没有排序,如果按有序排列,则不合题意,导致解答错误.,【互动探究】本例(2)条件不变,则在课程表上的相邻两节文化课之间 至少间隔1节艺术课的概率. 【解析】相邻两节文化课间至少间隔1节艺术课的排法有 =144种, 所以所求概率为,【规律方法】 1.求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n. (2)求出事件A包含的所有基本事件数m. (3)代入公式P(A)= ,求出P(A).,2.基本事件个数的确定方法 (1)列举法:此法适合于基本事件较少的古典概型. (2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法.,【变式训练】1.(2015北京模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游 戏,让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一 行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”,则孩子会得到父母的奖励, 那么孩子受到奖励的概率为( ) 【解析】选A.先从4个位置中选一个排4,再从剩下位置中选一个排3, 所有可能的排法有43=12种,满足要求的排法只有1种,因此,所求概 率为P=,2.在集合A=2,3中随机取一个元素m,在集合B=1,2,3中随机取一 个元素n,得到点P(m,n),则点P落在圆x2+y2=9内部的概率为 . 【解析】点P的取法有23=6种,点P在圆内部,则m2+n29,所以m=2, n=1或2. 因此,所求概率P= 答案:,【加固训练】1.(2015嘉兴模拟)如图给定6个点(任意相邻两点距离为1)A,B,C,D,E,F组成正三角形点阵,在其中任意取两个点,则两点间的距离为2的概率是( ),【解析】选B.从6个点中选出2个的选法共有 15种. 若使得取出的两点中距离为2,有 ,D-F三种, 所以P=,2.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰 好是按字母顺序相邻的概率是 . 【解析】从5张卡片中任取2张,所有的基本事件为AB,AC,AD,AE,BC, BD,BE,CD,CE,DE,共10组,设“2张卡片上的字母恰好是按字母顺序 相邻”为事件M,则M包含AB,BC,CD,DE,共4组,所以P(M)= 答案:,考点3 较复杂的古典概型问题 知考情 较复杂的古典概型问题是高考命题的重点内容之一,其命题方向是古典概型与平面几何、函数、统计交汇命题等,其解决方法是寻找其基本事件以及所含事件的个数,然后利用古典概型的概率公式求解.,明角度 命题角度1:古典概型与平面几何知识交汇命题 【典例3】(2014陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( ) 【解题提示】根据古典概型的概率公式进行计算即可得到结论.,【规范解答】选B.从边长为1的正方形的中心和顶点 这五点中,随机(等可能)取两点,共有 =10条线段, 满足该两点间的距离小于1的有AO,BO,CO,DO共4条线 段,则根据古典概型的概率公式可知随机(等可能)取两点,则该两点间的距离小于1的概率P=,命题角度2:古典概型与函数零点交汇命题 【典例4】(2015哈尔滨模拟)设a1,2,3,4,b2,4,8,12,则函数f(x)=x3+ax-b在区间1,2上有零点的概率为( ) 【解题提示】注意函数f(x)在1,2上是增函数,函数f(x)有零点,则需满足f(1)f(2)0.,【规范解答】选C.因为f(x)=x3+ax-b,所以f(x)=3x2+a.因为a 1,2,3,4,所以f(x)0,所以函数f(x)在区间1,2上为增函数. 若存在零点,则解得a+1b8+2a.因此可使函数在区间1,2上有 零点的有:a=1,2b10,故b=2,b=4,b=8共有3种情况;a=2,3b 12,故b=4,b=8,b=12共有3种情况;a=3,4b14,故b=4,b=8,b=12共 有3种情况;a=4,5b16,故b=8,b=12共有2种情况.所以有零点共 有3+3+3+2=11种情况.而构成函数共有44=16个.根据古典概型可 得有零点的概率为 .,悟技法 1.与平面几何有关概率的求法 (1)结合几何图形的结构特征,找到符合条件的基本事件总数. (2)根据事件的几何特征求出其基本事件数. (3)代入古典概型公式. 2.与函数零点有关概率的求法 与函数零点有关的概率的求法,依据题设条件将问题转化为求基本事件个数与求出所求事件含有基本事件的个数,最后利用公式求出概率.,通一类 1.(2015哈尔滨模拟)m2，1,0,1,2,3，n3，2， 1,0,1,2，且方程 1有意义，则方程 1可表示 不同的双曲线的概率为( ),【解析】选D.由题设知 或 1 时有不同取法339种 2 时有不同取法224种 所以，所求概率P,2.(2015杭州模拟)一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关,则某人连过前二关的概率是( ),【解析】选A.在第一关,要投掷一颗骰子一次,这1次抛掷所出现的点 数大于2,即过关,分析可得,共有6种结果,投掷一次过关的情况有3,4, 5,6,共四种,故过第一关的概率为 ;在第二关,要投掷一颗骰子 二次,这2次抛掷所出现的点数的和大于4,即过关,分析可得,共有36种 结果,点数小于等于4的情况有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (3,1)共6种,所以出现大于4的有30种,故过第二关的概率为 ; 故连过前两关的概率是,3.(2015宿迁模拟)已知kZ， (k,1)， (2,4)，若 | |4，则ABC是直角三角形的概率是_,【解析】因为 4，所以 因为kZ，所以k3，2，1,0,1,2,3， 当ABC为直角三角形时，应有ABAC，或ABBC，或ACBC， 由 0得2k40，所以k2， 因为 (2k,3)，由 0得k(2k)30， 所以k1或3，,由 0得2(2k)120，所以k8(舍去)，故使ABC为 直角三角形的k值为2，1或3， 所以所求概率P . 答案：,4.(2015沈阳模拟)设集合A=x|x2-3x-100,xZ,从集合A中任取 两个元素a,b且ab0,则方程 =1表示焦点在x轴上的双曲线 的概率为 .,【解析】A=x|-20,b0,满足条件的有:(1,-1), (2,-1),(3,-1),(4,-1)共4种,所求概率P= 答案:,自我纠错27 求古典概型的概率问题 【典例】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X0就去打球,若X=0就去唱歌,若X0就去下棋.,(1)写出数量积X的所有可能取值. (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:(1)没能准确计算出X的所有可能值,由数量积的运算知X的可能 取值为-2,-1,0,1,忽视 =-2. (2)基本事件列举不全,思维定式,如X=-1,盲目认为向量共线,遗漏向 量夹角为 的4种情况.,【规避策略】 1.准确理解题意 对于X的可能取值,一定要考虑全面、准确;对于合题意的,不要忽略 2.注意数量积的定义 向量的数量积由向量的模、夹角共同确定,要考虑到各种情况,要注意分类求解.,【自我矫正】(1)X的所有可能取值为2，1,0,1. (2)数量积为2的有 ,共1种； 数量积为1的有 共6种； 数量积为0的有 共4种；,数量积为1的有 共4种. 故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为P1 ；小波 去唱歌的概率为P2 ，小波不去唱歌的概率为P1,
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