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第四章 4.1 圆的方程,4.1.2 圆的一般方程,学习目标,1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径. 2.会在不同条件下求圆的一般方程.,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 圆的一般方程的定义 1.当 时，方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程， 其圆心为 ，半径为 . 2.当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示点 . 3.当 时，方程x2y2DxEyF0不表示任何图形. 思考 若二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0，表示圆，需满足什么条件？,答案,D2E24F0,D2E24F0,答 AC0；B0；D2E24AF0.,知识点二 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2y2DxEyF0(D2E24F0).则其位置关系如下表：,答案,返回,内,外,上,题型探究 重点突破,题型一 圆的一般方程的定义 例1 判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,解 方法一 由方程x2y24mx2my20m200，知D4m，E2m，F20m20， 故D2E24F16m24m280m8020(m2)2. 因此，当m2时，它表示一个点；,方法二 原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2. 因此，当m2时，它表示一个点； 当m2时，原方程表示圆.,对形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D2E24F是否为正.若D2E24F0，则方程表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的范围是 _.,解析 由题意可知(2)2124k0，,解析答案,题型二 求圆的一般方程 例2 已知ABC的三个顶点为A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)，求ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.,反思与感悟,解析答案,解 方法一 设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0， A，B，C在圆上，,反思与感悟,ABC的外接圆方程为x2y22x2y230， 即(x1)2(y1)225. 圆心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.,方法二 设ABC的外接圆方程为(xa)2(yb)2r2， A、B、C在圆上，,反思与感悟,圆的标准方程为(x1)2(y1)225， 展开易得其一般方程为x2y22x2y230.,解析答案,kABkAC1，ABAC. ABC是以角A为直角的直角三角形. 圆心是线段BC的中点，,反思与感悟,外接圆方程为(x1)2(y1)225. 展开得一般方程为x2y22x2y230.,反思与感悟,应用待定系数法求圆的方程时： (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.,解析答案,解析答案,解析答案,题型三 求动点的轨迹方程 例3 已知直角ABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.,反思与感悟,解析答案,解 方法一 设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线， 所以x3，且x1.,所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1). 方法二 同方法一，得x3，且x1. 由勾股定理，得|AC|2|BC|2|AB|2， 即(x1)2y2(x3)2y216， 化简得x2y22x30.,反思与感悟,反思与感悟,所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3，且x1). 方法三 设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).,由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 设C(x，y)，则直角顶点的轨迹方程为(x1)2y24(x3，且x1).,反思与感悟,求与圆有关的轨迹问题常用的方法. (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式. (2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点 Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程.,解析答案,化简，得x2y22x30.即所求轨迹方程为(x1)2y24.,代入法求圆的方程,解题方法,例4 已知定圆的方程为(x1)2y24，点A(1，0)为定圆上的一个点，点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.,解析答案,解后反思,分析 由于点M依赖于动点C，且动点C在圆上，故只要找到点M与点C的坐标关系，再利用点C的坐标满足圆的方程，即可求得点M的轨迹方程. 解 设点M(x，y)，点C(x0，y0)，,解析答案,解后反思,因为点C与点A不重合，所以x01，即x1.,解后反思,又因为点C(x0，y0)在圆(x1)2y24上，,将代入，得(2x11)2(2y)24(x1)， 即x2y21(x1). 因此，动点M的轨迹方程为x2y21(x1).,解后反思,对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常采用本例的方法，这种求轨迹方程的方法叫做代入法.,解析答案,解后反思,例5 已知圆的方程为x2y22x0，点P(x，y)在圆上运动，求2x2y2的最值.,返回,忽略有关圆的范围求最值致误,易错点,分析 由x2y22x0，得y2x22x0，求得x的范围.而点P(x，y)在圆上，则可将2x2y2转化为关于x的二次函数，就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题. 解 由x2y22x0，得y2x22x0. 所以0x2. 又因为2x2y22x2x22xx22x(x1)21， 所以02x2y28. 所以当x0，y0时，2x2y2有最小值0， 当x2，y0时，2x2y2有最大值8. 故2x2y2有最小值0，最大值8.,解后反思,解后反思,在解答过程中易忽略隐含条件y2x22x0，即0x2，从而放大了x的范围导致错误.因此在解题时一定要仔细审题，明确题目中的已知条件和待求的问题，否则会忽略隐含条件而使范围变大或缩小.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.圆x2y24x6y0的圆心坐标是( ) A.(2，3) B.(2，3) C.(2，3) D.(2，3),圆心坐标是(2，3).,D,解析答案,2.方程x2y2xyk0表示一个圆，则实数k的取值范围为( ),1,2,3,4,5,D,1,2,3,4,5,解析答案,3.M(3，0)是圆x2y28x2y100内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是( ) A.xy30 B.xy30 C.2xy60 D.2xy60,B,解析 过点M的最长弦应为过点M的直径所在的直线.,解析答案,4.圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为( ),1,2,3,4,5,D,1,2,3,4,5,解析答案,5.圆x2y22x4ym0的直径为3，则m的值为_.,解析 因(x1)2(y2)25m，,课堂小结,1.圆的一般方程x2y2DxEyF0，来源于圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件. 2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程. 3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.,返回,
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