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第6讲,不等式选讲,1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几,何意义证明以下不等式：,(1)|ab|a|b|；,(2)|ab|ac|cb|；,(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.,2了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何 意义，并会证明,3会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：,4会用向量递归方法讨论排序不等式 5了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法 证明一些简单问题 6会用数学归纳法证明伯努利不等式：,(1x)n1nx,(x1，x0，n 为大于 1 的正整数)，了,解当 n 为大于 1 的实数时伯努利不等式也成立,7会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不,等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.,8了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、,反证法、缩放法,1常用的证明不等式的方法,(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法,(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与 几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式 (3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发， 分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定 这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都 已具备，那么就可以断定原不等式成立,(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB，先假设 AB，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定 AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反 证法,(5)放缩法：要证明不等式 AB 成立，借助一个或多个中间 变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法,2绝对值不等式,(1)含绝对值不等式的解法：,设 a0，|f(x)|af(x)a. (2)理解绝对值的几何意义： |a|b|ab|a|b|.,D,1用反证法证明时：其中的结论“ab”，应假设为(,),Aab,Bab,Cab,Dab,2若关于 x 的不等式|xa|1 的解集为(1,3)，则实数 a 的 值为( ),A2,B1,C1,D2,3不等式|2x3|1 的解集为_,(，1)(2，),A,4(2014年广东韶关调研)不等式|x1|x2|1 的解集,是_.,1，),5(2013年江西)在实数范围内，不等式|x2|1|1 的解,集为_,0,4,考点 1,比较法证明不等式,例1：(2013 年江苏)已知ab0，求证：2a3b32ab2 a2b.,证明：2a3b3(2ab2a2b) (2a32ab2)(a2bb3) 2a(a2b2)b(a2b2) (a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)，,【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为： 作差并化简，其化简目标应是 n 个因式之积或完全 平方式或常数的形式. 判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论. 得出结论.,又ab0，ab0，ab0,2ab0， (ab)(ab)(2ab)0. 2a3b3(2ab2a2b)0. 2a3b32ab2a2b.,考点2,综合法证明不等式,例2：(2013年新课标)设 a，b，c 均为正实数，且 ab c1，证明：,【规律方法】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从 所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至 使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知 从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件,简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法,用分析法论证 “若 A，则 B”这个命题的模式是：欲证命题 B 为真，只需证 明命题B1 为真，从而又只需证明命题 B2 为真，从而又只需 证明命题A 为真，今已知A 真，故B 必真.简写为：BB1B2 BnA.,考点3,分析法证明不等式,【规律方法】极坐标方程与参数方程之间不能直接互化， 必需以普通方程为桥梁，即将极坐标方程转化为普通方程再转 化为参数方程，或将参数方程转化为普通方程再转化为极坐标 方程，要注意普通方程与参数方程的等价性,考点4 利用放缩法证明不等式时应把握好度,【规律方法】要证AB，可适当选择一个C，使得CB，反之亦然.主要应用于不等式两边差异较大时的证明.一般的放缩技巧有： 分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子.多见于分式类不等式的证明； 添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明.,考点5,解绝对值不等式,例5：已知函数 f(x)|2x1|2x3|. (1)求不等式 f(x)6 的解集； (2)若关于 x 的不等式 f(x)a 恒成立，求实数 a 的取值范围 思维点拨：(1)只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次 不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；(2)问题等价于 f(x)max，可以利用不等式|a|b|ab|a|b|.,考点6,不等式|a|b|ab|a|b|的应用,例6：(1)不等式|x3|x1|a23a 对任意实数 x 恒成立，,则实数 a 的取值范围为( A1,4 C2,5,) B(，25，) D(，14，),解析：由绝对值的几何意义易知，|x3|x1|的最小值 为4， 所以不等式|x3|x1|a23a 对任意实数 x 恒成立， 只需a23a4，解得1a4. 答案：A,(2)若关于 x 的不等式|x3|x4|a 的解集不是空集，则 实数 a 的取值范围是_ 解析：设 y|x3|x4|， 1，x3，,则 y 2x7，3x4，,图象如图6-6-1.,1，x4. 图6-6-1,由图象，可知：1y1，,当 a1 时，不等式的解集不是空集 答案：(1，),【规律方法】对于比较复杂的含绝对值不等式的问题，若 用常规解法需分类讨论，去掉绝对值符号，解法繁琐，而灵活 运用绝对值的几何意义，往往能简便、巧妙地将问题解决.,【互动探究】 1若不等式|x4|x3|a 的解集为非空集合，则实数 a,),的取值范围是( Aa7 Ca1,B1a7 Da1,解析：由题意，得a(|x4|x3|)min，|x4|x3|x 4x3|，即a1.,C,2若不等式|xa|x2|1 对任意实数 x 恒成立，则实,数 a 的取值范围为_.,a3 或 a1,解析：设y|xa|x2|，则 ymin|a2|，因为不等式|x a|x2|1 对xR 恒成立， 所以|a2|1，解得a3，或 a1.,3(2015年广东广州一模)已知 a 为实数，则|a|1 是关于,x 的绝对值不等式|x|x1|a 有解的(,),B,A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,
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