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第十五篇 几何证明选讲(选修41) 第1节 相似三角形的判定及有关性质,选考部分,知识链条完善,考点专项突破,经典考题研析,知识链条完善 把散落的知识连起来,知识梳理,1.平行线截割定理及应用 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 ,那么在其他直线上截得的线段 . (2)平行线等分线段定理的推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 . 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 . (3)平行线分线段成比例定理及其推论 三条平行线截两条直线,所得的对应线段 . 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 .,相等,也相等,平分第三边,平分另一腰,成比例,成比例,2.相似三角形的判定定理与性质定理 (1)相似三角形的判定定理,两角,两边,夹角,三边,(2)相似三角形的性质定理,相似比,相似比,平方,平方,3.直角三角形相似的判定定理与射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理,有一个锐角,两条直角边,斜边,斜边,成比例,(2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 ;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 .,比例中项,比例中项,夯基自测,1.给出下列命题: 三角形相似不具有传递性; 两组对应边成比例,一组对应边所对的角相等的两三角形相似; 两个三角形相似,则对应线段都成比例; 相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比. 其中正确的是( ) (A) (B) (C) (D),C,C,D,4.在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,若BDAD=13,则BCD= .,5.已知梯形ABCD的上底AD=8 cm,下底BC=15 cm,在边AB,CD上分别取E,F,使AEEB=DFFC=32,则EF= .,答案:12.2 cm,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,平行线截割定理及应用,反思归纳 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性质的运用. (2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据,特别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边,是否过一边的中点.,考点二,相似三角形的判定与性质,【例2】 如图,已知ABC中,AD,BE,CF分别是BC,AC,AB边上的高. 求证:AFEDFBDCE.,反思归纳,证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等; (2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例; (3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.,【即时训练】 (1)如图所示,D为ABC中BC边上一点,CAD=B,若AD=5,AB=9,BD=6,则DC的长为 .,答案:(2)9,直角三角形中的射影定理,考点三,【例3】如图,在ABC中,ACB=90,CDAB于D,DEAC于E,EFAB于F. 求证:CE2=BDDF.,反思归纳,(1)运用直角三角形中的射影定理时要注意大前提是在直角三角形中,要确定好直角边及其射影. (2)在证明问题中要注意等积式与比例式的相互转化,同时注意射影定理的其他变式.,【即时训练】 如图,在ABC中,ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F. 求证:AEAB=AFAC.,证明:因为ADBC,所以ADB为直角三角形. 又因为DEAB,由射影定理知,AD2=AEAB. 同理可得AD2=AFAC,所以AEAB=AFAC.,备选例题,【例1】 如图,在ABCD中,E是AB延长线上一点,DE交AC于G,交BC于F. 求证:(1)DG2=GEGF;,【例2】 如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,DECA,且交BA的延长线于E, 求证:EDCD=EABD.,经典考题研析 在经典中学习方法,【教师备用】,三角形相似的判定,【典例】(2012高考新课标全国卷)如图,D,E分别为ABC边AB,AC的中点,直线DE交ABC的外接圆于F,G两点.若CFAB,证明: (1)CD=BC; (2)BCDGBD.,(2)因为FGBC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD, 所以BGD=BDG. 由BC=CD知CBD=CDB, 又因为DGB=EFC=DBC, 所以BCDGBD. 命题意图:本题主要考查了三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质,等弧所对的弦以及三角形相似的判定等基础知识,考查了逻辑推理能力,试题难度中等.,
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