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第 8 讲,解三角形应用举例,1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形,度量问题,2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与,测量和几何计算有关的实际问题,1解三角形的常见类型及解法,在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，,常见类型及其解法如下表所示：,（续表）,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型,测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航,海问题、物理问题等 3实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下 方叫俯角如图 3-8-1(1),图 3-8-1,(2)方向角：,相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等 (3)方位角：,指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的,方位角为如图 3-8-1(2),(4)坡度：,坡面与水平面所成的二面角的度数,1在某次测量中，在 A 处测得同一方向的点 B 的仰角为,),D,60，点 C 的俯角为 70，则BAC( A10 B50 C120 D130,2如图 3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸 边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75,CBA,45，且 AB200 m则 A，C 两点的距离为( 图 3-8-2,),A,图 D12,答案：D,4一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个 灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔 在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75,则这艘船的速,图 D13,度是(,),C,考点 1,测量距离问题,例 1：(2014 年四川)如图 3-8-3，从气球 A 上测得正前方的 河流的两岸B，C的俯角分别为75，30,此时气球的高是 60 m，,则河流的宽度 BC(,),图 3-8-3,答案：C,【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在,有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.,(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学,模型的解.,【互动探究】 1.在相距2 km 的A，B 两点处测量目标C，若CAB75，,CBA60，则 A，C 两点之间的距离为_km.,考点2,测量高度问题,例 2：(2014 年新课标)如图3-8-4,为测量山高 MN,选择点 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从点 A 测得点 M 的仰角 为MAN60,点C的仰角为CAB45,以及MAC75; 从点C测得MCA60.已知山高BC100 m,则山高MN_m. 图 3-8-4,答案：150,【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念. (2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角,形内运用正弦、余弦定理.,【互动探究】 2为测量某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼 顶 D 处测得塔顶 A 的仰角为 30，测得塔基 B 的俯角为 45，,那么塔 AB 的高度是(,),答案：A,考点 3,测量角度问题,例 3：如图 3-8-5，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙 以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正 北方向航行若渔船甲同时从 B 处出发 沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 (1)求渔船甲的速度；,(2)求 sin的值,图 3-8-5,解：(1)依题意，得BAC120，AB12，AC102 20(海里)，BCA. 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos120784.,解得 BC28.故渔船甲的速度为,BC 2,14(海里/时),答：渔船甲的速度为 14 海里/时,【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行， 同时要理解实际问题中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、 方位角、坡度等.,(2)在ABC 中，AB12，BAC120，BC28, BCA，,【互动探究】 3两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40，灯塔B在观察站南偏东 60，则灯塔A在,灯塔 B 的(,),B,A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 10 D南偏西 10,难点突破,三角函数在解三角形中的应用,例题：(2014 年新课标)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补，,AB1，BC3，CDDA2.,(1)求角 C 和 BD；,(2)求四边形 ABCD 的面积,BD2BC2CD22BCCDcosC1312cosC， BD2AB2DA22ABDAcosA54cosC. ,解：(1)由题设及余弦定理，得,【规律方法】本题与某年北京高考题几乎完全相同，请思 考已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB2，BC6，CD DA4，求四边形 ABCD 的面积 解：如图 3-8-6，连接 BD，则有四边形 ABCD 的面积,由余弦定理， 在ABD 中，,BD2AB2AD22ABADcosA,2242224cosA2016cosA.,在CDB 中，BD2CB2CD22CBCDcosC,6242264cosC5248cosC. 2016cosA5248cosC.,
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