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第6节 空间向量及其运算,知识链条完善,考点专项突破,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标怎么记?在y轴上的点的坐标怎么记?在z轴上的点的坐标怎么记? 提示:可记作(x,0,0).可记作(0,y,0).可记作(0,0,z). 2.空间中任意两个非零向量a,b共面吗? 提示:共面.,知识梳理,1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系 以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做 ,x轴、y轴、z轴叫做 ,通过每两个坐标轴的平面叫做 . (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. (3)空间一点M的坐标 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的 ,y叫做点M的 ,z叫做点M的 .,坐标原点,坐标轴,坐标平面,z轴,横坐标,纵坐标,竖坐标,3.空间向量的有关概念,大小和方向,长度或模,1,0,相同,相等,相反,相等,互相平行,或重合,ab,平面,4.空间向量的有关定理及推论,a=b,p=xa+yb,不共面,p=xa+yb+zc,基底,基向量,不共线,两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则 叫做向量a,b的数量积,记作 ,即 .,AOB,0,ab,|a|b|cos,ab,ab=|a|b|cos,(2)两个向量数量积的性质和结论 已知两个非零向量a和b. ae=|a|cos(其中e为单位向量). ab .,|ab| |a|b|. (3)空间向量数量积的运算律 数乘结合律:(a)b= . 交换律:ab= . 分配律:a(b+c)= .,ab=0,aa,|a|2,(ab),ba,ab+ac,(5)空间向量运算的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么 加、减运算:ab= . 数量积:ab= .,数乘运算:a= (R). 平行的充要条件:ab . 垂直的充要条件:ab .,(x,y,z),(x1x2,y1y2,z1z2),x1x2+y1y2+z1z2,(x1,y1,z1),x1=x2,y1=y2,z1=z2(R),x1x2+y1y2+z1z2=0,夯基自测,解析:中四点恰好围成一封闭图形,正确; 中当a,b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|,所以不正确; 中a,b所在直线可能重合,所以不正确; 中需满足x+y+z=1,才有P,A,B,C四点共面,不正确. 故选C.,C,解析:关于y轴对称,横、竖坐标变为原来的相反数,纵坐标不变.,A,C,4.已知a=(cos ,1,sin ),b=(sin ,1,cos ),则向量a+b与a-b的夹角是 .,解析:因为(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2+1+sin2)-(sin2+1+cos2)=0, 所以(a+b)(a-b),即向量a+b与a-b的夹角为90.,答案:90,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,空间直角坐标系,【例1】 (1)在空间直角坐标系中,点M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为M,则M在xOz上的投影M的坐标是 ; (2)已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(aR),则|AB|的最小值是 .,解析:(1)M(-2,-1,3), 该点在xOz上的投影M(-2,0,3).,反思归纳 (1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标,(2)两点间距离公式的应用 求两点间的距离或线段的长度; 已知两点间的距离,确定坐标中参数的值; 根据已知条件探求满足条件的点的存在性.,解析:(1)横坐标不变其余变为原来的相反数, 故为(-8,-6,-1).,答案: (1)(-8,-6,-1) (2)(3,0,0),考点二,空间向量的线性运算,反思归纳,(1)用基向量表示指定向量的方法 用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来. (2)向量加法的多边形法则 首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.,提醒:空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.,空间向量的数量积的应用,考点三,(2)求证:AC1BD;,(3)求BD1与AC夹角的余弦值.,反思归纳,(1)求空间向量数量积的方法 定义法.设向量a,b的夹角为,则ab=|a|b|cos ; 坐标法.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则ab=x1x2+y1y2+z1z2.,求长度(距离).运用公式|a|2=aa,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题; 解决垂直问题.利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.,备选例题,【例1】 已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x,y的值分别为 .,答案:1,3,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,空间向量的基本运算,(2)在空间向量的基本运算中,一定要准确利用平行四边形法则和三角形法则,而且一定要准确利用所给的比例,否则很容易出现错误.,
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