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第 5 讲,直线、平面垂直的判定与性质,1以空间直线、平面的位置关系及四个公理为出发点认识,和理解空间中的垂直关系,2理解直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理 3理解并能证明直线和平面垂直、平面和平面垂直的性质,定理,4能用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位,置关系的简单命题,1线面垂直与面面垂直,垂直,（续表）,2.直线与平面所成的角,(1)如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所,成的角等于 0.,(2)如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等 于,90.,(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条 斜线与平面所成的角，其范围是(0，90)斜线与平面所成 的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中 最小的角 3二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角从 二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角,是直角的二面角叫做_,直二面角,),D,1垂直于同一条直线的两条直线一定( A平行 B相交 C异面 D以上都有可能,2给定空间中的直线 l 及平面，条件“直线 l 与平面内,无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面垂直”的(,),C,A充要条件 C必要非充分条件,B充分非必要条件 D既非充分又非必要条件,3如图 8-5-1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列结论中,正确的个数是(,),D,图 8-5-1 BD1AC；BD1A1C1；BD1B1C.,A0 个,B1 个,C2 个,D3 个,4已知三条直线 m，n，l,三个平面，.下面四个命,题中，正确的是(,),D,考点 1,直线与平面垂直的判定与性质,例 1：(2014 年山东)如图 8-5-2，在四棱锥 P-ABCD 中，AP E，F 分别为线段 AD，PC 的中点 (1)求证：AP平面 BEF； (2)求证：BE平面 PAC. 图 8-5-2,(2)由题意知，EDBC，EDBC， 四边形 BCDE 为平行四边形 因此 BECD.,又 AP平面 PCD，,APCD，因此 APBE. 四边形 ABCE 为菱形， BEAC.,又 APACA，AP，AC平面 PAC， BE平面 PAC.,【规律方法】直线与直线垂直直线与平面垂直平面与 平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直，通过直线与平 面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时，平 行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆 周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角.,【互动探究】 1如图 8-5-3，PA O 所在的平面，AB 是O 的直径， C 是O 上的一点，E，F 分别是 A 在 PB，PC 上的射影，则下,列结论中正确命题的个数是(,) 图 8-5-3,AFPB；EFPC；AFBC；AE平面 PBC.,A1 个 C3 个,B2 个 D4 个,解析：正确，又AF平面 PBC，假设AE平面PBC， AFAE，显然不成立，故错误 答案：C,考点 2,平面与平面垂直的判定与性质,例 2：(2014 年江苏)如图 8-5-4，在三棱锥 P-ABC 中，D， E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，已知 PA AC，PA 6， BC8，DF5，求证： (1)直线 PA 平面 DEF； (2)平面 BDE平面 ABC.,图 8-5-4,证明：(1)D，E 分别是 PC，AC 的中点， PADE.,又 DE平面 DEF，且 PA 平面 DEF， 直线 PA平面 DEF. (2)由(1)知，PADE.,又 PAAC，DEAC. 又 F 是 AB 的中点，,又 DF5，DE2EF2DF2，即 DEEF. 又 EFACE，DE平面 ABC.,又 DE平面 BDE，故平面 BDE平面 ABC.,【规律方法】证明两个平面互相垂直，就是证明一个平面 经过另一个平面的一条垂线，从而将面面垂直的问题转化为线 面垂直的问题.,【互动探究】 2如图 8-5-5，在立体图形 D-ABC 中，若 ABCB，AD,),CD，E 是 AC 的中点，则下列结论正确的是( A平面 ABC平面 ABD B平面 ABD平面 BDC C平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC 平面 BDE D平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC 平面 BDE,图 8-5-5,解析：要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的 一条直线与另一个平面垂直因为ABCB，且E 是AC 的中点， 所以 BEAC，同理有 DEAC，于是AC平面BDE.因为AC 在平面 ABC 内，所以平面 ABC平面 BDE.又由于AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故选 C.,答案：C,考点 3,线面所成的角,例 3：如图 8-5-6，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与 平面 A1B1CD 所成的角 图 8-5-6 解：如图 8-5-6，连接 BC1，交 B1C 于点O，连接A1O，设 正方体的棱长为 a.,又BA1O 为锐角，BA1O30. 故 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30.,【规律方法】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是： 先判断直线和平面的位置关系；当直线和平面斜交时，常 有以下步骤：作作出或找到斜线与平面所成的角；证 论证所作或找到的角为所求的角；算常用解三角形 的方法求角；结论点明斜线和平面所成角的值,解析：如图 D38，连接AC交BD 于点O， 连接 C1O，过点 C 作 CHC1O 于点 H. 图 D38,【互动探究】 3(2013 年大纲)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1,2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于(,),难点突破,立体几何中的探究性问题,例题：已知四棱锥 P-ABCD 的直观图及三视图如图 8-5-7. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积；,(2)若点 E 是侧棱 PC 的中点，求证：PA 平面 BDE； (3)若点 E 是侧棱 PC 上的动点，是否无论点 E 在什么位置，,都有 BDAE？并证明你的结论,图 8-5-7,思维点拨：(1)由直观图三视图确定棱锥的底面和高，再求,体积,(2)欲证 PA 平面 BDE，需找一个经过PA 与平面BDE 相 交的平面，结合 E 为 PC 的中点，AC 与BD 的交点为AC 的中 点，故取平面 PAC.,(3)“无论点 E 在 PC 上的什么位置，都有 BDAE”的含,义是 BD平面 PAC.,(2)证明：如图 8-5-8，连接 AC，交BD 于点 F，则F 为AC,的中点,图 8-5-8,又E 为 PC 的中点，PAEF. 又 PA平面 BDE，EF平面 BDE， PA平面 BDE.,(3)解：无论点 E 在什么位置，都有 BDAE.证明如下： 四边形 ABCD 是正方形， BDAC.,PC底面 ABCD，且 BD平面 ABCD， BDPC.,又 ACPCC，BD平面 PAC.,无论点 E 在 PC 上什么位置，都有 AE平面 PAC， 无论点 E 在 PC 上什么位置，都有 BDAE.,
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