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第5节 直线、平面垂直的判定与性质,知识链条完善,考点专项突破,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.直线l与平面内无数条直线垂直,则直线l吗? 提示:不一定,当这无数条直线相互平行时,l与不一定垂直. 2.若平面内有一条直线垂直于平面,则吗? 提示:垂直. 3.若,则内任意直线都与垂直吗? 提示:不一定,平面内只有垂直于交线的直线才与垂直.,知识梳理,1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面内的 直线都垂直,就说直线l与平面互 相 .,任意一条,垂直,(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理,两条相交直线,平行,2.直线与平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 ,叫做这条直线和这个平面所成的角. 如图, 就是斜线AP与平面所成的角.,射影,锐角,PAO,(2)平面与平面的垂直 定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.,直二面角,平面与平面垂直的判定定理与性质定理,垂线,交线,【重要结论】 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. 2.若两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 3.若一条直线和两个不重合的平面都垂直,那么这两个平面平行.,夯基自测,1.(2014高考浙江卷)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面( ) (A)若mn,n,则m (B)若m,则m (C)若m,n,n,则m (D)若mn,n,则m,解析:选项A,B,D中m与平面可能平行、相交或m在平面内;对于C,若m,n,则mn,而n,所以m.,C,2.设,是两个不同的平面,l是一条直线,给出下列说法: 若l,则l;若l,则l; 若l,则l;若l,则l. 其中说法正确的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0,解析:对于,l或l; 对于,若l,则l,正确; 对于,若l,则l或l或l或l与斜交,错误.,A,3.(2015天津市新华中学质检)设a,b是两条直线,是两个平面,则ab的一个充分条件是( ) (A)a,b, (B)a,b, (C)a,b, (D)a,b,解析:若b,所以b,又a,所以ba,即ab.,C,4.(2016武昌调研)给出下列四个命题: 如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面; 如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于 平面; 如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面; 如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面. 其中错误的命题是 .(写出所有错误命题的序号),解析:借助正方体很容易判断出是正确的,只有是错误的.,答案:,5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则AC的长为 .,答案:a,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,直线与平面垂直的判定和性质,【例1】 (2014高考新课标全国卷)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C. (1)证明:B1CAB;,(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点. 因为侧面BB1C1C为菱形, 所以B1CBC1, 又AO平面BB1C1C, 所以B1CAO, 故B1C平面ABO. 由于AB平面ABO, 故B1CAB.,(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.,反思归纳 (1)证明线线垂直的常用方法 利用特殊图形中的垂直关系; 利用等腰三角形底边中线的性质; 利用勾股定理的逆定理; 利用直线与平面垂直的性质. (2)证明线面垂直的常用方法 利用线面垂直的判定定理; 利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”; 利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”; 利用面面垂直的性质定理.,(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;,(3)证明:直线DF平面BEG.,考点二,平面与平面垂直的判定和性质,考查角度1:面面垂直的判定. 高考扫描:2015高考新课标全国卷,2012高考新课标全国卷. 【例2】 (2015高考新课标全国卷)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD. (1)证明:平面AEC平面BED;,(1)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以ACBD. 因为BE平面ABCD, 所以ACBE. 故AC平面BED. 又AC平面AEC, 所以平面AEC平面BED.,反思归纳,(1)面面垂直的证明方法 定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. 定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决.,反思归纳,面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.,线面角与二面角的求法,考点三,(2)证明AE平面PCD;,(2)证明:在四棱锥P-ABCD中, 因为PA底面ABCD,CD平面ABCD, 所以CDPA. 由条件CDAC, PAAC=A, 所以CD平面PAC. 又AE平面PAC, 所以AECD. 由PA=AB=BC, ABC=60,得AC=PA. 因为E是PC的中点, 所以AEPC. 又PCCD=C, 所以AE平面PCD.,(3)求二面角A-PD-C的正弦值.,反思归纳,空间线面角、二面角的求法 (1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,作出垂线,确定垂足. (2)二面角的求法 直接法:根据概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点. 垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角. 垂线法:过二面角的一个半平面内一点A,作另一个半平面的垂线,垂足为B,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,连接AC,则ACB就是二面角的平 面角或其补角.,(2)求二面角A1-BD-A的大小;,(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.,备选例题,【例题】如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,DAB=60.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EFAC于点O.沿EF将CEF翻折到PEF的位置,使平面PEF平面ABFED. (1)求证:BD平面POA;,(1)证明:因为菱形ABCD的对角线互相垂直,所以BDAC,所以BDAO. 因为EFAC,所以POEF. 因为平面PEF平面ABFED,平面PEF平面ABFED=EF, 且OP平面PEF,所以PO平面ABFED. 因为BD平面ABFED,所以POBD. 因为AOPO=O, 又BDAO, 所以BD平面POA.,(2)当PB取得最小值时,求四棱锥P-BFED的体积.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,立体几何中折叠问题的求解策略,答题模板:第一步:确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变化量和不变量. 第二步:在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确需要用到的线面. 第三步:利用判定定理或性质定理进行证明. 第四步:利用所给数据求边长和面积等,进而求表面积、体积.,
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