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1.3.1 函数的单调性与导数,第一章 1.3 导数在研究函数中的应用,1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 函数的单调性与其导数的关系,答案,增,在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：,减,答案,思考 以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1x2的前提下，比较 f(x1)与f(x2)的大小，在函数yf(x)比较复杂的情况下，比较 f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？,答案 根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系， 如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增； 如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.,知识点二 利用导数求函数的单调区间,利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求出函数的导数 f(x). (3)解不等式 f(x)0，得函数的单调递增区间；解不等式 f(x)0，得函数的单调递减区间.,知识点三 导数绝对值的大小与函数图象的关系,一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数 yf(x)在(a,0)和(0，b)内的图象“陡峭”，在(，a)和(b，)内的图象“平缓”.,返回,题型探究 重点突破,题型一 利用导数确定函数的单调区间,解析答案,例1 求下列函数的单调区间. (1)f(x)3x22ln x；,解 函数的定义域为D(0，).,解析答案,(2) f(x)x2ex；,解 函数的定义域为D(，). f(x)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)， 令f(x)0，由于ex0， x10，x22，用x1，x2分割定义域D，得下表：,f(x)的单调递减区间为(，0)和(2，)，单调递增区间为(0,2).,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,解 函数的定义域为D(，0)(0，).,函数 f(x)的单调递减区间为(1,0)和(0,1)，单调递增区间为(，1)和(1，).,反思与感悟,首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“”.,跟踪训练1 求函数 f(x)x33x的单调区间.,解析答案,解 f(x)3x233(x21). 当 f(x)0时，x1或x1， 此时函数 f(x)单调递增； 当 f(x)0时，1x1，此时函数 f(x)单调递减. 函数 f(x)的递增区间是(，1)，(1，)，递减区间是(1,1).,题型二 利用导数确定函数的大致图象,例2 画出函数 f(x)2x33x236x16的大致图象.,解 f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2). 由 f(x)0 得x2或x3， 函数 f(x)的递增区间是(，2)和(3，). 由 f(x)0得2x3， 函数 f(x)的递减区间是(2,3). 由已知得 f(2)60，f(3)65，f(0)16. 结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致 图象如图所示(答案不唯一).,解析答案,反思与感悟,利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 已知导函数 f(x)的下列信息： 当2x3时，f(x)0；当x3或x2时，f(x)0； 当x3或x2时，f(x)0；试画出函数 f(x)图象的大致形状.,解 当2x3时，f(x)0，可知函数在此区间上单调递减； 当x3或x2时，f(x)0，可知函数在这两个区间上单调递增； 当x3或x2时，f(x)0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变. 综上可画出函数f(x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).,题型三 利用导数确定参数的取值范围,解析答案,反思与感悟,例3 已知函数 f(x)2axx3，x(0,1，a0，若函数 f(x)在(0,1上是增函数，求实数a的取值范围.,已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种： 利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即 f(x)0(或 f(x)0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题； 利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集； 利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置.,反思与感悟,解析答案,h(x)在(0，)上存在单调递减区间，,G(x)min1， a1.,解析答案,(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围.,解析答案,求函数单调区间时，因忽视函数定义域致误,例4 求函数 yxln x的单调区间.,返回,易错易混,防范措施,解析答案,防范措施,防范措施,在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,1.函数 f(x)xln x在(0,6)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数,A,解析答案,1,2,3,4,5,2. f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是( ),解析答案,1,2,3,4,5,解析 由导函数的图象可知， 当x0时，f(x)0，即函数 f(x)为增函数； 当0x2时，f(x)0，即 f(x)为减函数； 当x2时，f(x)0，即函数 f(x)为增函数. 观察选项易知D正确.,答案 D,1,2,3,4,5,3.若函数 f(x)x3ax2x6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( ) A.1，) B.a1 C.(，1 D.(0,1),解析答案,A,解析 f(x)3x22ax1， 且 f(x)在(0,1)内单调递减， 不等式3x22ax10在(0,1)内恒成立， f(0)0，且f(1)0，a1.,1,2,3,4,5,解析答案,4.函数 yx24xa的增区间为_，减区间为_.,(2，),(，2),解析 y2x4， 令y0，得x2； 令y0，得x2， 所以yx24xa的增区间为(2，)，减区间为(，2).,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,课堂小结,判断函数单调性的方法如下： (1)定义法.在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x1)f(x2)的符号来确定函数的单调性. (2)图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断. 图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数； 图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数.,返回,(3)导数法.利用导数判断可导函数f(x)在区间(a，b)内的单调性， 步骤是：求f(x)；确定f(x)在(a，b)内的符号；确定单调性. 求函数yf(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f(x)0和f(x)0所得的x的取值集合. 反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题， 即f(x)0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值. 同样可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题.,
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