《结构力学位移法》PPT课件.ppt

基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。 教学内容：位移法的基本概念 等截面直杆的形常数和载常数 位移法的基本未知量和基本体系 位移法方程 位移法计算连续梁和刚架 位移法计算对称结构,第7章 位移法,一、 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。,分析超静定结构时，有两种基本方法： 第一种： 以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移力法。 第二种： 以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力位移法。,7.1 位移法的基本概念,力法：由变形协调条件建立位移方程； 位移法：由平衡条件建立的平衡方程。,二、位移法与力法的区别,1.主要区别是基本未知量选取不同,力法：多余未知力作为基本未知量； 位移法：结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。,2.建立的基本方程不同,注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而 位移法的基本未知量与超静定次数无关。,1.刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移； 2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件 的轴向变形； 3.结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结 点线位移垂直于杆轴发生。,三、位移法的基本假定,下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。,结点位移与杆端位移分析,四、位移法的基本思路,由方程解得：,位移法方程,把回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：,由结点平衡：, 由结点平衡或截面平衡，建立方程；, 结点位移回代，得到杆端力。,总结一下直接平衡法解题的步骤：, 确定结点位移的数量；, 写出杆端力与杆端位移的关系式；, 解方程，得到结点位移；,ql2/48,基本体系法解题要点：,（1）位移法的基本未知量是结点位移；,（3）位移法的基本方程是平衡方程；,（4）建立基本方程的过程分为两步：,1）把结构拆成杆件，进行杆件分析；,2）再把杆件综合成结构，进行整体分析；,（5）杆件分析是结构分析的基础。,（2）位移法的基本结构-单跨梁系；,一、杆端力和杆端位移的正负规定,二、形常数和载常数,1.杆端转角、杆两端相对位移以使杆件顺时针转动 为正号。 2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点 逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转 动为正号。,形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力,载常数：由荷载引起的固端力,7.2 等截面直杆的刚度方程,根据力法可求解：,其中i=EI/l，称为杆件的线刚度,1.由杆端位移求杆端内力（形常数）,图（1）,图（2）,1）求图(1) 中的A1,B1,(a),(b),(c),2）求图(2)中 A2和B2,3）叠加得到,变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）：,由平衡条件得杆端剪力：见图（d),(d),由单位杆端位移引起的形常数,4i,2i,0,3i,0,i,-i,0,2.由荷载求杆端内力固端弯矩和固端剪力（载常数）,独立的结点位移：包括角位移和线位移,结点角位移数：刚结点的数目,独立结点线位移数：铰结体系的自由度,7.3 位移法的基本未知量,一、位移法基本未知量,结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。,杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。,为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=。,2.有侧移结构,1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角,二、基本未知量的确定,例1.,例2.,例3.,有两个刚结点E、F、D、C，由于忽略轴向变形， E、F、D、C 点的竖向位移为零， E、F 点及D、C 点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：,例4.,有两个刚结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为：,结论：刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。,有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未 知量为：,例7.,例8.,例9.,结点转角的数目：7个,独立结点线位移的数目：3个,结论： 该题有两个未知量： 其中BA杆的线位移为： BC杆的线位移为：,例10.,B,C,注意： (1)铰处的转角不作基本未知量。 (2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。,(3)结构带无限刚性梁时，即EI时，若柱子平行， 则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结 点转角可由柱顶侧移表示出来。,（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。,7.4 位移法举例,杆长为：l,BA杆,BC杆,2.写出杆端力的表达式,3.建立位移法方程,取B结点，由 ,得:,A,EI,B,C,EI,q,例1:,4. 解方程，得:,5. 把结点位移回代，得杆端弯矩,6. 画弯矩图,M图,例2.,1、基本未知量B、C,2、列杆端力表达式,令EI=1,3、列位移法方程,4、解方程,B=1.15 C=4.89,=43.5,=46.9,=24.5,=14.7,=9.78,=4.89,=3.4,=1.7,62.5,3.4,M图(kN.M),位移不是真值!,5、回代,6、画M图,例3.,取出B结点:,求FQBA,求FQBC,把FQBCFQBA代入方程中得：,例4.,1.未知量2个：,位移法方程,求FQBA,取BA杆,由,小 结,（1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移) 思路与方法基本相同； （2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比， 在具体作法上增加了一些新内容： 在基本未知量中，要含结点线位移； 在杆件计算中，要考虑线位移的影响； 在建立基本方程时，要增加与结点线位移对 应的平衡方程。,7.5 基本体系和典型方程法,2.建立基本体系,（1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂， 阻止刚结点转动（不能阻止移动）；,（2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆， 阻止结点线位移（移动）。,一、位移法基本体系,1.基本体系单跨超静定梁的组合体 用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待。,经过以上处理，原结构就成为一个由n个独立单跨超静定梁组成的组合体即为位移法的基本体系。,例.建立图示结构位移法的基本体系。,基本体系,原结构,二、利用基本体系建立位移法方程,锁住将原结构转换成基本体系。把原结构“拆 成”孤立的单个超静定杆件； 放松将基本结构还原成原结构。即强行使“锁 住”的结点发生与原结构相同的转角或线 位移。,2.位移法典型方程的建立与求解,1.基本原理先锁、后松。,原结构,基本体系,Z1,Z2,MP图,=,=,+,+,+,+,=,附加刚臂和链杆上产生的反力,由反力互等定理可知：,求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面利用 平衡原理求得。,由MP图：,位移法方程,如果结构有n个未知量，那么位移法方程为：,是副系数，有正有负。,由反力互等定理可知：,物理意义是：由第j个结点位移发生单位位移 后，在第i个结点位移处产生的反力。,【例1】用位移法计算图(a)所示结构，并作内力图。已知各杆EI为常数。 【解】（1）在结点B加一刚臂得基本结构(图(b)，只有 一个未知量Z1。 （2）位移法典型方程为 k11Z1+F1P=0 （3）求系数和自由项 绘M1图(图(c)，求得 k11=3i+4i=7i 绘MP图(图(d)，求得 F1P=5-40=-35kNm,（4）求未知量Z1 将k11、F1P之值代入典型方程，得 7iZ1-35=0故 Z1=5/i （5）用叠加法绘最后弯矩图(图(e)。 （6）绘制剪力、轴力图。,【例2】用位移法计算图(a)所示结构，并作弯矩图。已知各杆长度均为l，EI为常数。 【解】（1）基本结构如图(b)所示。 （2）位移法方程为k11Z1+F1P=0 （3）求系数和自由项 绘M1图(图(c)，求得 k11=4i+4i+3i=11i 如图(d)所示，结点D被刚臂锁住，加外力偶后不能转动，所以各杆均无弯曲变形，因此无弯矩图，即MP=0。,截取结点D(图(d)，由结点力矩平衡条件MD=0，得 F1P+m=0故 F1P=-m 若外力偶m是逆时针方向的，则 F1P=+m 写成一般式，当结点受外力偶作用时： F1P=m 当外力偶为顺时针时m取负号，为逆时针时m取正号。解方程，求Z1： Z1=-F1P/k11=m/11i,按叠加法绘最后弯矩图(图(e)： M=M1Z1+MP=M1Z1 当结点上有外力偶，各杆上还有外力作用时： F1P=M固端+m 式中：外力偶为顺时针时，m取负号；反之，m取正号。,【例3】用位移法计算图(a)所示排架，并绘M图 【解】基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z1。 位移法方程为 k11Z1+F1P=0 绘M1图如图(c)所示，得k11=3i/l2=12i/l2 绘MP图如图(d)所示。得F1P=-3ql/4 将k11、F1P之值代入位移法方程，解得 Z1=-F1P/k11=ql3/16i 按叠加法绘最后弯矩图。,【例4】用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M图。 【解】此刚架具有两个刚结点B和C，无结点线位移， 其基本结构如图(b)所示。 列位移法典型方程： k11Z1+k12Z2+F1P=0 k21Z1+k22Z2+F2P=0 分别绘出M1图(c)、M2图(d)和MP图(e)。 各系数和自由项分别计算如下：,k11=4i+8i=12i k21=k12=4i k22=8i+6i+4i=18i F1P=-26.67-10=-36.67kNm F2P=26.67-30=-3.33kNm 将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=3.23/i Z2=-0.53/i 按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图(f)所示。,【例5】用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M图 【解】此刚架具有一个独立转角Z1和一个独立线位移Z2。 基本体系如图(b)所示。 根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，可建立位移法方程如下： k11Z1+k12Z2+F1P=0 k21Z1+k22Z2+F2P=0 分别绘出M1图(c)、M2图(d)和MP图(e)。,由M1图： k11=3i+4i=7i 由M2图： k12=-3i/2 由MP图: F1P=0,求k21可在M1图上经二柱顶引截面，根据柱端弯矩计算出作用于柱顶的剪力，取其上部为隔离体(图2(a)，由 X=0 k21-QCD=0 故 k21=QCD=k12,图2,为求k22，可在M2图上引截面，由隔离体(图2(b)的平衡条件X=0，可推出计算公式如下： 对于本例： 同理可求得F2P，由MP图： F2P=-60kN,将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=20.87/i Z2=97.39/i 按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图(f)所示。,小 结,（1）确定基本未知量，取基本体系。,位移法的解题步骤与方法同力法相比较：,（3）作MP、Mi 图，求系数和自由项,（2）建立典型方程,位移法：先作出基本体系分别在载荷FP、单位位移（Zi=1)作用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；然后利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加链杆中的反力，即位移法的系数和自由项：F i p、k i j、k ii。,（4）解典型方程，求基本未知量。,（5）绘制最后内力图采用叠加法。,力法： 位移法：,7.6 对称结构的计算,对于对称结构用位移法求解时，可以取半边结构进行计 算，所以下面先介绍半边结构的取法。,以单跨刚架为例，对称点C的位移和内力如下：,1.奇数跨对称结构在对称荷载作用下,变形正对称，对称轴截面不能水平移动，也不能转动，但是可以竖向移动。取半边结构时可以用滑动支座代替对称轴截面。 对称轴截面上一般有弯矩和轴力，但没有剪力。,2.偶数跨对称刚架在对称荷载作用下,以双跨刚架为例，对称点C的位移和内力如下：,变形正对称，对称轴截面无水平位移和角位移，又因忽略竖柱的轴向变形，故对称轴截面也不会产生竖向线位移，可以用固定端支座代替。 中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩和剪力，但有轴力。对称轴截面对梁端来说一般存在弯矩、轴力和剪力，对柱端截面来说只有轴力。,3.奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下,以单跨刚架为例，对称点C的位移和内力如下：,变形反对称，对称轴截面左半部分梁向下弯曲，右半部分梁向上弯曲，由于结构是一个整体，在对称轴截面C处不会上下错开，故对称轴截面C在竖直方向不会移动，但是会发生水平移动和转动，故可用链杆支座代替。 对称轴截面C上无弯矩和轴力，但一般有剪力。,4.偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下,以两跨刚架为例：,图1,变形反对称，中柱在左侧荷载作用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二者等值反向，故总轴力等于零，对称轴截面不会产生竖向位移，但是会发生水平移动和转动，是由中柱的弯曲变形引起的。 中柱由左侧荷载和右侧荷载作用产生的弯曲变形的方向和作用效果相同，故中柱有弯曲变形并产生弯矩和剪力，取半边结构时可取原结构对称轴竖柱抗弯刚度的一半来计算。,小 结,（1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零； （2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零； （3）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和； （4）在对称结构计算中，对取的半边结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用谁。,例1.利用对称性计算图示结构，EI为常数。,解：由于有两根对称轴，可以取1/4 刚架进行计算。,原结构,1.未知量：,2.杆端弯矩表达式：,q,q,L,3.建立位移法方程,4.解方程，得：,5.回代，得杆端弯矩：,6.画弯矩图,M图,例2.利用对称性计算图示结构。 所有杆长均为L，EI也均相同。,原结构,解：1.由于该结构的反力是静定的， 求出后用反力代替约束。,2.该结构有两根对称轴，因此 把力变换成对称与反对称的。,=,=,原结构=对称+反对称,+,反对称情况的半刚架：,对此进行求解, ,1.未知量：,2.杆端弯矩：,3.建立位移法方程：,7.6 其它各种情况的处理,一、支座移动时的计算,例：图示结构的A支座发生了一个转角，用位移法求解。,2.杆端弯矩：,3.建立位移法方程,取BC截面：,二、温度发生变化时的计算,例.图示结构的温度较竣工时发生了变化，用位移法求解。,2.杆端弯矩：,BA杆轴线处温度提高17.5,杆件 伸长：17.5L,B 的 位 置,BC杆轴线处温度提高15,杆件 伸长：15L,3.建立位移法方程,三、组合结构的计算,例.用位移法求解图示组合结构。,解：1.未知量,3.建立位移法方程, ,2.杆端弯矩和轴力,取BC截面:, ,四、弹性支座的计算,例.用位移法求解图示有弹性支座的结构。,解：1.未知量,2.杆端弯矩：,3.建立位移法方程,取C结点：,2.杆端弯矩,五、带斜杆刚架的计算,例.用位移法求解图示有斜杆的刚架。,解：1.未知量,3.建立位移法方程,其中：,六、有剪力静定杆件结构的计算,例.用位移法求解图示有无剪力杆件的刚架。,常规计算未知量是：,基本体系,原结构,一端固定 一端滑动单元,但请注意：BA杆的剪力是静定的,若只把B结点的转角固定起来,它的受力与一端固定一端滑动单元相同。因此,此题的未知量可只取一个 。,杆端弯矩：,位移法方程：, ,特别要提醒的是固端弯矩的计算：,AB杆的固端弯矩：用FP查一端固定 一端滑动单元。 AB杆的固端弯矩：应用2FP查一端固 定一端滑动单元。原因是：上层的力 对下面层有影响，例如AB杆的剪力是FP， BC杆的剪力是2FP 。,七、有刚度无穷大杆件的刚架计算,例.用位移法求解图示有刚度无穷大杆件的刚架。,杆端弯矩：,位移法方程：,