线性系统的可控性与可观性.ppt

,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,. 可控性的概念 . 线性定常系统的可控性判据 . 线性定常系统的可观测性 . 离散系统的可控性与可观测性 . 时变系统的可控性与可观测性 .系统的可控性与可观测性的对偶原理 .可控规范型和可观测规范型 .8 线性系统的结构分解 .9 传递函数矩阵的实现 .10 传递函数中零极点对消与可控性与可观 测性的关系,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,3.5 时变系统的可控性与可观测性,时变系统动态方程中的的元素均为时间函数，定常系统中关于由常数矩阵 构成的可控性、可观测性判据不适用了，这里首先遇到如何定义时变列向量的线性无关性问题。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,一. 格兰姆（Gram）矩阵及其在时变系统中的应用,给定（mn）矩阵F且表示成列向量组：,其转置矩阵,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,则格兰姆阵G定义为：,G为nn维矩阵，且记为：,式中元素,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,利用格兰姆行列式detFTF或格兰姆矩阵FTF能表示出给定矩阵F的列向量是否相关的条件。,设非齐次线性方程组Fx=y ，据解的存在定理，当rankF=rankFy 时，有解：当y任意时，使x有解的充要条件是rankF=n。由于,，即,，于是有：,其中 乃是m个平方项之和，恒大于零，故,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,上式表示出 为正定二次型函数，G为正定矩阵。已知正定矩阵存在 ，于是矩阵F的n个列向量线性无关的充要条件可表示为：,格兰姆阵 是正定的， 或格兰姆行列式不为零 ， 或格兰姆阵是非奇异的。,同理，可根据 的正定或非奇异来确定F的m个行向量无关。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,在时变系统情况下，F(t)各元素均为时间函数，如果在某时刻系统可控，在另一时刻则可能是不可控的。因此，想判断t0,tf 时间间隔内诸时变列向量的线性无关性，应考虑在t0,tf区间内由如下积分所构成的格兰姆阵是否正定或非奇异来确定：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,式中元素,当G正定或非奇异时，表示F(t)的n个列向无关。,正定或非奇异来确定F(t)的m个量线性行向量线性无关,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,二. 线性时变系统的可控性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,三. 线性时变系统的可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,3.6 可控性与可观测性的对偶原理,线性系统的可控性与可观测性不是两个相互独立的概念，它们之间存在着一种内在的联系。,能控性和能观性，无论在概念上还是在判据的形式上都存在着内在关系。这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,一. 线性定常系统的对偶关系,设两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2),S1(A1 B1 CI),S2(A2 B2 C2),第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) 若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T 则称S1与S2是对偶系统.,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,如果1 和 2 互为对偶系统，那么：,1如果将1模拟结构图中将信号线反向；输入端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成的就是2的模拟结构图，如下图所示。,对偶系统结构图,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,2对偶系统的传递函数阵互为转置。,所以若1 ， 2 为单入单出（SISO）系统，那么有,3. 对偶系统特征方程式相同。,即 和 是等价的。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,由下述状态空间表达式描述的系统S1：,以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：,对偶原理：当且仅当系统S2状态能观测（状态能控）时，系统S1才是状态能控（状态能观测）的。,二. 对偶原理：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,对于系统S1： 1. 状态能控的充要条件是nnr维能控性矩阵,的秩为n。,2. 状态能观测的充要条件是nnm维能观测性矩阵,的秩为n。,对于系统S2: 1. 状态能控的充要条件是nnm维能控性矩阵,的秩为n。,2. 状态能观测的充要条件是nnr维能观测性矩阵,的秩为n。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。利用此原理，一个给定系统的能观测性可用其对偶系统的状态能控性来检检和判断。 简单地说，对偶性有如下关系：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,二. 时变系统对偶原理：,1.定义 设两个时变系统 S1A1(t) B1(t) CI(t)、S2A2 (t) B2(t) C2(t) 若满足下列关系 A2(t)=-A1T(t) B2(t)=C1T(t) C2(t)=B1T(t) 则称S1与S2是对偶系统,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,2.状态转移矩阵互为转置逆,3. 对偶原理,S1的能控性等价于S2的能观性; S1的能观性等价于S2的能控性。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,如果 能控，必有,n维线性定常系统,一、问题的提法,3.7 能控规范型和能观测规范型,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,上述能控判据矩阵中，有且仅有n维列向量是线性无关的，可取n个线性无关的列向量构成状态空间的一组基底，所谓能控规范型，就是指能控对（A,B)在上述基底下所具有的标准形式。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式： 约旦标准型：对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析十分方便。 能控标准型：对于状态反馈来说比较方便， 能观标准型：对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。 无论选用哪种标准形，其实质都是对系统状态空间表达式进行非奇异线性变换，而且关键在于寻找相应的变换矩阵 。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性，能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数为,的系统，可以证明，当其无相消的零极点时，系统一定能控能观，则可直接由传递函数写出其能控、能观标准型。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,二、单输入单输出系统的能控规范形,1）能控标准型,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,2）化能控系统为能控标准型,定理：若n维单输入线性定常系统的状态完全能控，则可以通过非奇异变换将其系统矩阵及控制矩阵变换为能控标准形。,若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,使其状态空间表达式化为：,其中：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,【例】试将下列系统变换为能控标准型。,解 （1）先判别系统的能控性,，所以系统是能控的。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,（2）计算系统的特征多项式,即,则,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,由,得,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,由可控规范型求系统传递函数是非常方便的，因为：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,上式可知，根据系统的传递函数W（S）可直接写出系统的可控标准型，反之亦然,写出系统的传递函数,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,因为传递函数没有零极点对消，系统可控，可以化为可控标准型。从W(s)表达式可知：,解：,由传递函数直接写出系统的可控标准型,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,三、单输入单输出系统的能观规范形,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,2）化能观系统为能观标准型,当给定的能观系统是用状态空间表达式描述的，且并不是能观标准型，同样可用下面的方法将其变换为能观标准型。,设系统的状态空间表达式为,若系统是完全能观的，则存在线性非奇异变换,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,使其状态空间表达式化为,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,其中,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,【例】试将下列系统变换为能观标准型。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,详细解法见教材P117。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,. 可控性的概念 . 线性定常系统的可控性判据 . 线性定常系统的可观测性 . 离散系统的可控性与可观测性 . 时变系统的可控性与可观测性 .系统的可控性与可观测性的对偶原理 .可控规范型和可观测规范型 .8 线性系统的结构分解 .9 传递函数矩阵的实现 .10 传递函数中零极点对消与可控性与可观测性的关系,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,3.8 线性系统的规范分解,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,引例 研究下列系统动态方程的各状态变量的能控性、能观测性及传递函数：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,解： 按A阵对角化后的能控性、能观测性判据可知：,x1：能控，不能观测； x2：能控，能观测； x3：不能控，能观测； x4：不能控，不能观测。,计算传递函数,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,一.系统按可控性的结构分解,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,将变换后的动态方程展开，有,即 可控子系统动态方程为：,不可控子系统动态方程为：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,由上图可看出系统的传递函数完全由图中上半部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,【例】设线性定常系统,，,判别可控性。若系统不可控，将系统按可控性进行规范分解。,解：（1）判别可控性,，,系统不完全可控。,，,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,（2）构造按可控性进行规范分解的非奇异变换阵,。,，,，,，故,变换后系统的动态方程为：,，,式中：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,可控子系统动态方程：,，,不可控子系统动态方程：,，,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,二、系统按可观测性的结构分解,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,非奇异线性变换阵可这样构造：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,由图上可以看出传递函数完全由图中上半部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,【例】设线性定常系统,，,判别可观测性。若系统不可观测，将系统按可观测性进行规范分解。,解： （1）判别可观测性,，,系统不可观测,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,（2）构造非奇异变换阵,。取,，,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,即,可观测子系统为：,，,不可观测子系统为：,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,三、按可控性和可观测性分解,将原状态空间表达式变换为：,，,其中：,，,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,，,即,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,上述系统的结构图如下图示：,从结构图可以清楚看出四个子系统传递信息的情况。在系统的输入u和输出y之间，只存在一条唯一的单向控制通道，即uB1 S1 C1 y。显然，反映系统输入输出特性的传递函数阵W(S)只能反映系统中能控且能观的那个子系统的动力学行为。即传递函数降只是对系统的一种不完全的描述，如果在系统中添加(或去掉)不能控或不能观的子系统，并不影响系统的传递函数。因而根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式，其解将有无穷多个。但是其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的，这就是最小实现问题。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第一步：将系统,按可控性分解;,第二步：把可控子系统,按可观测性分解;,第三步：把不可控子系统,按可观测性分解;,第四步：综合上述三次变换，导出系统同时按可控性和可观测性进行结构分解的表达式。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,3.9 传递函数矩阵的实现（不讲）,给定一传递函数矩阵,，若有一状态空间表达式,说 明： （1）并不是任意一个传递函数矩阵G(s)都可以找到其实现，通常它必须满足物理可实现条件。即： 传递函数矩阵中的每一个元 （ ，k=1,2,r）的分子分母多项式系数均为实常数。 传递函数矩阵G(s)中的每一个元 均为s的有理真分式函数。 （2）对应某一传递函数矩阵的实现是不唯一的。 由于传递函数矩阵只能反映系统中可控且可观测的子系统的动力学行为。因而，对于某一传递函数矩阵有任意维数的状态空间表达式与之对应。 由于状态变量选择的非唯一性，选择不同的状态变量时，其状态空间表达式也随之不同。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢?可以证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，使系统能控并能观的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。 可是对于多输入多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。鉴于这个原因，本节只限于讨论单输入单输出系统的传递函数中零极点对消与状态能控且能观之间的关系。,3.10 传递函数中零极点对消与可控性与可观测性的关系,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,SISO系统可控且可观测的充分必要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。,一. SISO系统,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,【例】试分析下列系统的可控性、可观测性与传递函数的关系。,解：三个系统的传递函数均为,显然存在零极点对消。,（1）A、B为可控标准型，故此系统可控不可观测。 （2）A、C为可观测标准型，故此系统可观测不可控。 （3）系统不可控、不可观测。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,【例】设二阶系统如下图。试用状态空间及传递函数描述判别系统的可控性和可观测性，并说明传递函数描述的不完全性。,解：由结构图有,整理后，有：,，,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,显然，都出现零极点对消，故系统不可控、不可观测。,分析：系统的特征多项式为,二阶系统的特征多项式应是二次多项式，但对消的结果是使二阶系统降为一阶。,，,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,原系统是不稳定的，含有一个右特征值,。,闭环传递函数零极点末对消时，系统是二阶的不稳定系统；对消后则成了一阶稳定系统。零极点对消主要后果是使系统阶次降低。从古典控制理论知道，闭环传递函数每个极点都对应自由运动一个分量，零极点对消后，在整个系统的模型中，对这个极点的相应分量也就不能控制了，因为控制量(或输入量)跟这个分量的联系已经因零极对消而割断了。,因此说传递函数描述是不完全的。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,多输入系统可控的充要条件是：,二. MIMO系统,多输出系统可观测的充要条件是：,的n行线性无关。,的n列线性无关。,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,本章小结,1、线性定常系统的能控性 离散系统的状态可控性 连续系统的状态能控性 A为对角阵、约当阵的能控性判据 能控标准形问题 输出能控性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,2、线性定常系统的能观测性 离散系统的能观测性 连续系统的能观测性 为对角阵、约当阵的能观测性判据 能观测标准形问题 线性变换的特性,3、线性时变系统的能控性和能观测性 格兰姆（Gram）矩阵及其在时变系统中的应用 时变系统的能控性 时变系统的能观测性,第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性,4、对偶原理,5、 线性定常系统的典范分解 能控状态的分离 能观测状态的分离 标准分解定理,