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,数学 苏（理）,14.3 坐标系与参数方程,第十四章 系列4选讲,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O， 叫做 ，从O点引一条射线Ox，叫做 ，再选定一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系.,极点,极轴,设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的 ，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，).,极径,(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为x ，y . 另一种关系为2 ，tan .,cos ,sin ,x2y2,参数方程,参数,4,50,3,解析,由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24. 由sin a可得ya. 设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.,解析,由对称性知OOB30，ODa.,例1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos( )1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点. (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；,题型一 极坐标与直角坐标的互化,解析,思维升华,解析,思维升华,例1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos( )1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点. (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；,题型一 极坐标与直角坐标的互化,解析,思维升华,例1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos( )1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点. (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；,题型一 极坐标与直角坐标的互化,直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.,解析,思维升华,例1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos( )1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点. (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；,题型一 极坐标与直角坐标的互化,例1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos( )1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点. (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.,解析,思维升华,例1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos( )1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点. (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.,解 M点的直角坐标为(2,0).,解析,思维升华,直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.,例1 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos( )1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点. (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.,解析,思维升华,跟踪训练1 在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值.,解 将极坐标方程化为直角坐标方程， 得圆的方程为x2y22x， 即(x1)2y21， 直线的方程为3x4ya0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，,跟踪训练1 在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值.,解得a8或a2. 故a的值为8或2.,题型二 参数方程与普通方程的 互化,解析,思维升华,解析,思维升华,题型二 参数方程与普通方程的 互化,解析,思维升华,题型二 参数方程与普通方程的 互化,解析,思维升华,题型二 参数方程与普通方程的 互化,(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.,跟踪训练2,题型三 极坐标、参数方程的综合应用,解 化极坐标方程4cos 为直角坐标方程x2y24x0， 所以曲线C是以(2,0)为圆心，2为半径的圆.,思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用.,跟踪训练3 (1)(2014陕西)在极坐标系中，点(2，)到直线sin( )1的距离是 .,跟踪训练3 (1)(2014陕西)在极坐标系中，点(2，)到直线sin( )1的距离是 .,1,易错警示系列21 参数的几何意义不明致误,(1)求直线l的倾斜角；,温 馨 提 醒,规 范 解 答,易 错 分 析,不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误.,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,温 馨 提 醒,规 范 解 答,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,易 错 分 析,(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求AB.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,易 错 分 析,不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误.,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,温 馨 提 醒,规 范 解 答,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,易 错 分 析,方 法 与 技 巧,1.曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以等.,方 法 与 技 巧,3.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.,失 误 与 防 范,1.极径是一个距离，所以0，但有时可以小于零.极角规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定0,02，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.,2.在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由.,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,所以直线l的方程可化为cos sin 2， 从而直线l的直角坐标方程为xy20.,3,4,5,6,1,2,解 由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21， 所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1，,所以直线l与圆C相交.,3,4,5,6,1,2,解 12sin ，212sin ， x2y212y0，即x2(y6)236.,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.,3,4,5,6,1,2,kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上.,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,2,3,4,1,2,3,4,1,解 直线l的普通方程为2xy2a0， 圆C的普通方程为x2y216.,2,3,4,1,(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.,2,3,4,1,解 由2知24， 所以x2y24；,2,3,4,1,所以x2y22x2y20.,2,3,4,1,(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解 将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为xy1. 化为极坐标方程为cos sin 1，,2,3,4,1,2,3,4,1,(x4)2(y5)225(cos2tsin2t)25， 即C1的直角坐标方程为(x4)2(y5)225， 把xcos ，ysin 代入(x4)2(y5)225， 化简得：28cos 10sin 160.,(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02). 解 C2的直角坐标方程为x2y22y，,2,3,4,1,C1与C2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2).,2,3,4,1,解 圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24， 直线C2的直角坐标方程为xy40.,2,3,4,1,注：极坐标系下点的表示不唯一.,解 由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3). 故直线PQ的直角坐标方程为xy20，,2,3,4,1,2,3,4,1,
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