二阶系统时域响应.ppt

1,3.1 典型输入信号 3.2 控制系统的时域性能指标 3.3 一阶系统的时域响应 3.4 二阶系统的时域响应 3.5 高阶系统的时域分析 3.6 线性定常系统的稳定性和劳斯判据 3.7 控制系统的稳态误差,第三章 时域分析法,一、二阶系统的数学模型,二、二阶系统的单位阶跃响应,六、改善二阶系统性能的措施,三、二阶系统的性能指标,四、二阶系统对其他典型输入信号的响应,3.5 二阶系统的时域响应,五、具有零点的二阶系统分析,用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统； 二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义； 求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。,一、二阶系统的数学模型,闭环传递函数：,闭环特征方程：,系统结构图：,为典型二阶系统的传递函数， 为阻尼系数， 为无阻尼自然振荡角频率或固有频率。,例1：RLC电路的传递函数为,可见：二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。,二、二阶系统的单位阶跃响应,值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。,当 时，零阻尼系统,系统两个共轭虚根：,此时输出将以频率 做等幅振荡，所以， 称为无阻尼振荡角频率。,二阶系统两个共轭复根：,当 时，欠阻尼系统：,s域输出响应：,时域响应：,欠阻尼系统的单位阶跃响应（ 01 ）,系统响应的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，其振荡频率为：,当 =1时，临界阻尼系统,系统两个负实重根：,临界阻尼系统单位阶跃响应( =1),输出响应无振荡和超调。=1时系统的响应速度比1 时快。,当 时：过阻尼系统,系统两个不等负实根：,过阻尼系统单位阶跃响应( 1),系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。,上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根（闭环极点）、特征根分布和单位阶跃响应如下表所示：,随着阻尼系数的增加，y(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当1时y(t)呈现单调上升运动(无振荡)。, 最佳阻尼比，系统响应较快、超调不大。,二阶系统的阻尼响应曲线,值越大，系统的平稳性越好；值越小，输出响应振荡越强。,闭环极点坐标与阻尼比的关系：,三、二阶系统的性能指标,本课程主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论。其单位阶跃响应曲线：,1,tr,tp,%,ts,ess,性能指标有：,(1)上升时间tr,(2)峰值时间tp,(3)超调量%,(4)调节时间ts,(5)振荡次数N,1.欠阻尼二阶系统的性能指标,(6)稳态误差ess,(1)上升时间 tr,tr,(2)峰值时间 tp,tp,峰值时间=阻尼振荡周期的一半,一定时，n越大，tp越小； n一定时，越大，tp越大。,(3)超调量%,tp,%的大小完全取决于，越小，%越大；,反映了系统的平稳性, 越大，系统平稳性越好。,= 0.40.8 % = 25.4%1.5%。,(4)调整时间 ts,包络线,按定义：,或,当由零增大时， nts先减小后增大， = 5%，nts的最小值出现在 0.69处； = 2%，nts的最小值出现在 0.78处； 出现最小值后， nts随几乎线性增加。,结论： 当增加到0.69或0.78时，调整时间ts为最小。设计二阶系统，一般选 =0.707(=45),为最佳阻尼比,此时不但调整时间ts为最小,而且超调量也不大。,= 0.707 % = 4.32%5%。ts 3/( n)。,典型二阶系统的调节时间ts与阻尼比和自然振荡频率n的乘积成反比。,闭环极点离虚轴越远，ts越短，系统响应越快。,(5)振荡次数N,N 仅与有关:越大，N越小，系统平稳性越好。,阻尼振荡周期,(6)稳态误差ess,根据稳态误差的定义,欠阻尼二阶系统的稳态误差:,1、二阶系统的动态性能由n和决定。,2、增加 降低振荡，减小超调量%和振荡次数N ， 系统快速性降低，tr、tp增加；,3、一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。,4、 % 、N仅与有关，而tr、tp、与、n有关，通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.40.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。,总结,阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。,总结,为了限制超调量，并使 较小， 一般取0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。,过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。,(2)稳态误差的计算：,(1)调节时间是根据特征根中绝对值小的来近似计算：,5%误差带,2%误差带,2.过阻尼二阶系统的性能指标,设,四、二阶系统对其他典型输入信号的响应,若y(t)为单位阶跃响应，则,过阻尼：1,欠阻尼：0 1,临界阻尼：=1,无阻尼：=0,二阶系统的单位斜坡响应,(t0),由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点：,主要由决定。,1）平稳性：,超调量%,振荡次数N,%,N 平稳性。,一定时，n d 平稳性。, =0时，等幅振荡，不能稳定工作。,n一定时，若较小， ts 快速性； 0.707之后， ts 快速性。 所以太小或太大，快速性均变差。,2）快速性：由和n决定。,(1)上升时间 tr,(2)峰值时间 tp,(3)调整时间 ts,综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取= 0.707为最佳。,3）准确性：由和n决定。,稳态误差ess,单位阶跃响应：,稳态误差ess,单位速度响应：,的增加和n的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪斜坡信号的稳态误差增加。,以欠阻尼为例。,例1. 已知系统的闭环传递函数 ，当K = 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃响应和性能指标% ,ts 。,解：,(1) K = 2,=1.061,c(t)=1-2e-t+e-2t,1,系统性能指标,ts=3T1=3,(2) K = 4,=0.751,=1-1.5e-1.5t sin(1.32t+41.4o),=2.8%,=2.67,3,2.67,例2. 单位反馈系统的开环传递函数为,(1) 二阶系统的参数和n；,若K=16,T=0.25,试求：,(3) 欲使% =16%,当T不变时K应取何值？,(2) 暂态性能指标% ,ts ；,Wednesday, November 20, 2019,39,例3：求如下随动系统的特征参数 ,分析与性能指标的关系。,若假设电枢电感La=0，则Ta=0，方程为,当只考虑Ua时，电动机的微分方程方程为,电动机传递函数为,电压放大器和功放的传递函数分别为K1和K2，可得方框图,因 所以,Wednesday, November 20, 2019,40,瞬态过程的性能指标例子,闭环传递函数为：,T不变，K,下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系(假设 ):, N。, z , % , wn, wd , zwn=1/2T不变，ts几乎不变,总之，K增大振荡加剧；,K不变，T, N。, z , % , wn , wd , zwn=1/2T , ts,实际系统中T往往不能变，要使系统性能好，则K，这对控制精度不利。,五、具有零点的二阶系统分析,系统结构为,：时间常数,-z=-1/：闭环零点,系统(01 )单位阶跃响应为：,由图可见:c2(t)使得c(t)比c1(t)响应迅速且有较大超调量。,系统参数间的关系:,可求得系统的性能指标:,增加零点后,上升时间和峰值时间缩短,系统的初始响应加快,系统的超调量增大，振荡性增加。,1,二阶系统,带零点系统,为了定量说明附加零点对二阶系统性能的影响，用参数表示附加零点与典型二阶系统复数极点至虚轴距离之比，即,零点从极点左侧向极点越靠近，影响越大； 当零点距离虚轴很远时(5)，零点的影响可以忽略。,六、改善二阶系统性能的措施,系统的平稳性和快速性对系统结构和参数的要求往往是矛盾的,工程中通过在系统中增加一些合适的附加装置来改善二阶系统的性能。,常用附加装置有误差信号的比例微分控制和输出量的微分(测速)负反馈控制，通过附加的装置改变系统的结构,从而达到改善系统性能的目的。,为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。速度反馈和速度顺馈是较常用的校正方法。,1误差信号比例-微分控制(PD),比例微分控制二 阶系统结构图,开环传递函数:,闭环传递函数:,得,比例微分控制使系统阻尼比增大,超调量将减少。若传递函数中增加的零点合适，将使得系统响应加快。,对二阶系统性能的改善,1,二阶系统,加比例微分,比例-微分控制的实现,RC比例-微分网络,运算放大器比例-微分网络,比例微分控制二 阶系统结构图,开环传递函数:,闭环传递函数:,得,2输出量微分(测速)负反馈控制,加入微分负反馈，系统的阻尼比增大，超调量减少。,1,二阶系统,加微分负反馈,对二阶系统性能的改善,(3)比例+微分控制与速度反馈控制的关系,比例+微分控制相当于分别对输入信号和反馈信号进行比例+微分。其中对反馈信号进行比例+微分相当于速度反馈。所以误差的比例+微分控制相当于输出的速度反馈构成的闭环系统再串联比例+微分环节。因此可以将其分别讨论。,1、从物理本质上讲，测速反馈控制相当于增加了系统的阻尼，使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；比例-微分控制是一种早期控制，微分信号有超前性，相当于系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。对于理想的线性控制系统来说，两种方法均可改善系统的动态性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，例如系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率等。,比例微分控制与测速反馈控制的比较,2、对系统动态性能的影响：比例-微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例-微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。,3、从抗干扰能力来看，比例-微分控制环节是高通滤波器，会放大噪声，可能影响系统的正常工作，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例微分控制。而测速反馈信号则引自具有较大惯性的控制对象（如电动机）滤波后的输出端，噪声成分很弱，所以抗噪声能力强。,4、比例-微分控制环节一般串联在前向通道信号功率较弱的地方，输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要用放大器将信号放大后去控制被控对象，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈则是从大功率的输出端（如电动机）反馈到前端信号较弱的地方，一般不需要加放大器，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。,6、从实现角度来看，比例-微分控制环节线路简单，成本较低；而测速部件则较昂贵。,5、从对稳态精度的影响来看：在相同阻尼比和无阻尼自然频率下，采用比例-微分控制不改变系统的开环增益，因而不会影响稳态精度。测速反馈控制虽不影响自然频率，但会导致开环增益下降，造成稳态误差增加。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。然而采用测速反馈能削弱被包围部件中非线性特性、参数漂移等不利因素的影响。,Thank You !,