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9.7 抛物线,考纲要求:1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.理解数形结合的思想. 3.了解抛物线的简单应用.,1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线.,2.抛物线的标准方程与几何性质,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( ) (3)若一抛物线过点P(-2,3),其标准方程可写为y2=2px(p0). ( ) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( ) (5)AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点 的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p. ( ),1,2,3,4,5,2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线 的渐近线的距离是( ),答案,解析,1,2,3,4,5,3.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,4.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|= .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.要熟练掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图象,尤其要弄清参数方程中p的几何意义. 2.焦点弦的长度可以通过抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离问题,这样焦点弦弦长公式就会有一个简洁的形式,以焦点在x轴上的抛物线为例,d=xA+xB+p.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1抛物线的定义及其应用 例1(1)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,如果直线AF的斜率为- ,那么|PF|=( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题? 解题心得:涉及与抛物线焦点的距离问题常转化为点到准线的距离.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|FP3|,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若 ,则|QF|=( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2抛物线的标准方程及几何性质 例2(1)(2015陕西,理14)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么? 解题心得:1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.涉及抛物线上点到焦点的距离或点到准线的距离,在求最值时可以相互转换,并结合图形很容易找到最值.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点 ,则|PA|+|PM|的最小值是( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3直线与抛物线的关系 例3已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3. (1)求抛物线E的方程; (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:直线与抛物线中的焦点弦问题常用结论有哪些? 解题心得:1.直线与抛物线相交于两点问题可结合抛物线的定义及几何性质进行处理,必要时联立直线与抛物线的方程来解决.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1). (1)求抛物线C的方程; (2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.认真区分四种形式的标准方程: (1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0). 2.抛物线的焦点弦:设过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程. 2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.,易错警示忽视抛物线方程的标准形式而致误 典例抛物线C1:x2=2py(p0)的焦点与双曲线C2: 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( ) 答案:D,
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