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9.2 两条直线的位置关系,考纲要求:1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.,1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1l2k1=k2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行或重合. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率都存在,设为k1,k2,则l1l2k1k2=-1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.,2.两直线相交 直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组 的解一一对应.相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解;重合方程组有无数个解.,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等. ( ) (2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1. ( ) (3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为 . ( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( ) (5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0. ( ),1,2,3,4,5,2.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0,答案,解析,1,2,3,4,5,3.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0,答案,解析,1,2,3,4,5,4.已知点A(a,1),B(4,8)到直线l:x+y+1=0的距离相等,则a的值为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a= .,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围. 2.求解点到直线、两平行线间的距离时,注意直线方程要用一般式.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1两条直线的平行与垂直 例1已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断l1与l2是否平行; (2)当l1l2时,求a的值.,解:(1)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a1且a0时,两直线的方程可化为 综上可知,a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,(方法二)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-12=0; 由A1C2-A2C10,得a(a2-1)-160. 解得a=-1, 故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,(2)(方法一)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立. 当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不垂直于l2.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:解含参数的直线方程有关问题时如何分类讨论? 解题心得:1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m的值为( ) A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,(2)已知直线l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x+ay-1=0,则“a=-1”是“l1l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点2直线的交点问题 例2求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:求两直线的交点坐标的一般规律是什么? 解题心得:1.求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点. 2.常见的三大直线系方程: (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR且mC). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,(2)过两直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点3距离公式的应用 例3直线l经过点P(2,-5)且与点A(3,-2)和点B(-1,6)的距离之比为12,求直线l的方程.,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:利用距离公式应注意哪些? 解题心得:利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练3 已知点P(2,-1). (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程. (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.,解:(1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2. 若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0. 此时l的方程为3x-4y-10=0. 综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点4对称问题 例4已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程; (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,(3)(方法一)在l:2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3). 则M,N关于点A的对称点M,N均在直线l上. 易知M(-3,-5),N(-6,-7),由两点式可得l的方程为2x-3y-9=0. (方法二)设P(x,y)为l上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y), P在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,思考:有关点、线对称问题都有哪些类型?解法如何? 解题心得:1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b. 2.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l的问题,可从直线l上任取两点,求出这两点关于M的对称点,利用对称点在l上,可得l的方程,或依据l上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T(2m-x,2n-y)在l上. 3.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A(x0,y0)的坐标,一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程. 4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,对点训练4 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,1.对于两条直线的位置关系的判断或求解: (1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1l2k1=k2. (2)若直线斜率均存在,则一定有:l1l2k1k2=-1. 2.中心对称问题 (1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决. (2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以利用所求直线上任一点的对称点在已知直线上求解.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,3.轴对称问题 (1)点关于直线的对称 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,一般由方 程组 可得到点P1关于直线l的对 称点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2). (2)直线关于直线的对称,若两直线平行,可用距离公式解决;若两直线不平行,就转化为点关于直线的对称问题.,考点1,考点2,考点3,考点4,知识方法,易错易混,1.运用两平行直线间的距离公式时,一定要统一两方程中x,y前的系数,还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的. 2.讨论直线的位置关系涉及含参类直线方程时,一定不要遗漏斜率不存在、斜率为0等特殊情形. 3.“l1l2A1A2+B1B2=0”适用于任意两条互相垂直的直线.,思想方法转化思想在对称问题中的应用 1.若在直线l上找一点P,使点P到两定点A,B的距离之和最小,要看A,B两点相对直线l的位置.若A,B在直线l的异侧,则直接连接AB,AB与直线l的交点即为所求;若A,B在直线l的同侧,则需要找出A或B中一个点关于直线l的对称点,然后连接另一点与对称点,连线与直线l的交点即为所求. 2.若在直线l上找一点使到两定点A,B的距离之差最大时,则与上面和最小问题正好相反.若A,B在直线l的异侧,则需要利用对称转化;若A,B在直线同侧,则A,B两点所在直线与l的交点即是所求. 典例已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直线l上求一点P,使|PB|-|PA|最大.,(2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点, 则|PB|-|PA|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,|PB|-|PA|取得最大值,为|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,又直线AB的方程为y=x-2, 故所求的点P的坐标为(12,10).,
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