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最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几 何图形、标准方程及简单几何性质.,第7讲 抛物线,1抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的_ (2)其数学表达式：|MF|d(其中d为点M到准线的距离),知 识 梳 理,相等,准线,2抛物线的标准方程与几何性质,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 ( ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a. ( ),诊 断 自 测,Ay1 By2 Cx1 Dx2 答案 A,答案 A,4(2014辽宁卷)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为 ( ) 解析 A(2，3)在抛物线y22px的准线上，,答案 D,5动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_ 解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x. 答案 y24x,考点一 抛物线的定义及应用 【例1】 (1)F是抛物线y22x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段AB的中点到y轴的距离为_ (2)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|PM|的最小值是_,规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径,【训练1】 已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ),答案 A,考点二 抛物线的标准方程和几何性质 (2)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_,规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此,【训练2】 (1)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为 ( ),考点三 抛物线焦点弦的性质 【例3】 设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.,规律方法 本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yAyBp2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目,考点四 直线与抛物线的位置关系 (1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程,所以C的方程为y24x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0) 代入y24x得y24my40. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24. 故AB的中点为D(2m21，2m)，,化简得m210，解得m1或m1. 所求直线l的方程为xy10或xy10. 规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解,【训练4】 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程；,思想方法 1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率) 2抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有着重要作用 3抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：,易错防范 1认真区分四种形式的标准方程 (1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程 (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0) 2直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件；由于抛物线及双曲线问题的特殊性，有时借助数形结合可能会更直观、更方便，当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切.,
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