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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教版 必修2,点、直线、平面之间的位置关系,第二章,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,第二章,2.3.3 直线与平面垂直的性质,1直线垂直于平面的定义：如果一条直线垂直于一个平面内的_一条直线，则称这条直线垂直于这个平面 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条_直线，则这条直线垂直于这个平面,知识衔接,任意,相交,3如图，长方体AC1中，二面角D1ABD的平面角是( ) AD1AB BD1BA CD1AD DD1DA 答案 C,4把等腰RtABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时BAC60，那么此二面角的大小是_. 答案 90,直线与平面垂直的性质定理,自主预习,平行,ab,平行,破疑点 直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系,1从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A相交 B平行 C异面 D相交或平行 答案 B,预习自测,2下列命题： 垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直 其中正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 D 解析 均正确,3.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E平面ABCD，F平面A1B1C1D1，且EF平面ABCD 求证：EFAA1.,分析 只需证明AA1平面ABCD即可,证明 AA1AB，AA1AD，且ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD， AA1平面ABCD 又EF平面ABCD， EFAA1.,规律总结：证明线线平行可转化为线面垂直，即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面,如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交求证：EFBD1.,利用线面垂直的性质证明平行问题,互动探究,探究 要证明EFBD1，转化为证明EF平面AB1C，BD1平面AB1C,规律总结：当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化,如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC 求证：(1)MNAD1；(2)M是AB的中点,分析 (1)证明MNAD1，转化为证明AD1平面A1DC，MN平面A1DC (2)利用平行公理和三角形的中位线定理证四边形AMNO为平行四边形 证明 (1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D 又因为CD平面ADD1A1， 所以CDAD1. 因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC 又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.,(2)如图，设AD1与A1D的交点为O，连接ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC，,已知AB，PQ于Q，PO于O，OR于R. 求证：QRAB 探究 证AB与QR所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可证明QRAB,利用线面垂直的性质证明垂直问题,证明 如图所示，因为AB，PO于O，所以POAB 因为PQ于Q，所以PQAB 因为POPQP， 所以AB平面PQO. 因为OR于R，所以PQOR. 因为PQ与OR确定平面PQRO. 又因为QR平面PQRO，AB平面PQRO，所以ABQR.,规律总结：要证线线垂直，只需证线面垂直，可利用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论因此，在解题时，要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用,如图，已知矩形ABCD，SA平面AC，AESB于E，EFSC于F. (1)求证：AFSC； (2)若SD交平面AEF于G，求证：AGSD,分析 (1)要证明AFSC，转化成证明SC平面AEF，充分利用其中的垂直关系 (2)要证AGSD，转化成AG平面SDC,证明 (1)因为SA平面AC，BC平面AC，所以SABC 因为ABCD是矩形，所以ABBC 又SAABA，所以BC平面SAB因为AE平面SAB，所以BCAE. 又SBAE，SBBCB，所以AE平面SBC 因为SC平面SBC，所以AESC 又EFSC，EFAEE，所以SC平面AEF. 所以AFSC,(2)因为SA平面AC，所以SADC 又ADDC，SAADA，所以DC平面SAD因为AG平面SAD，所以DCAG. 又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF. 所以SCAG.又SCDCC，所以AG平面SDC因为SD平面SCD， 所以AGSD,如右图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC (1)求证：D1CAC1；,线面垂直的性质的综合应用,探索延拓,(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由 探究 (1)关键先证明线面垂直，然后证明线线垂直；(2)关键构造中位线得线面平行,解析 (1)证明：连接C1D DCDD1，四边形DCC1D1是正方形，DC1D1C ADDC，ADDD1，DCDD1D， AD平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1，ADD1C又ADDC1D，D1C平面ADC1. 又AC1平面ADC1，D1CAC1.,(2)如图，连接AD1、AE、D1E，,设AD1A1DM，BDAEN，连接MN. 平面AD1E平面A1BDMN， 要使D1E平面A1BD， 须使MND1E，又M是AD1的中点， N是AE的中点 又易知ABNEDN，ABDE. 即E是DC的中点 综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD,规律总结：线面垂直与平行的相互转化： (1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的,如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且DAB60，ADAA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点 (1)求证：MF平面ABCD； (2)求证：平面AFC1平面ACC1A1.,(2)连接BD， 由直四棱柱ABCDA1B1C1D1， 可知A1A平面ABCD 又BD平面ABCD，A1ABD 四边形ABCD是菱形，故ACBD,又ACA1AA， AC，A1A平面ACC1A1， BD平面ACC1A1. 在四边形DANB中，DABN，且DABN，所以四边形DANB为平行四边形，故NABD NA平面ACC1A1. 又NA平面AFC1， 平面AFC1平面ACC1A1.,已知a，ab，b，求证a. 错解 b，ab，a或a. 又a，a. 错因分析 推理逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当 思路分析 本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何知识解决,易错点 证明说理过程不清晰，理由与结论衔接不恰当,误区警示,正解 如图，在a上任取一点A，过点A作直线bb.设bB，过直线a，b作平面，l. b，bl. 又ba，bb， ba，bl. 又a，l同在内， al. 又a，l，a.,如图，设平面与相交于直线l，AC，BD，垂足分别为C、D，直线ABAC，ABBD， 求证：ABl.,证明 AC，BD，l，ACl，BDl； 过A作AE垂足为E，则AEBD， ABBD，ABAE，AB平面ACE； AE，l，AEl， 又ACl，l平面ACE，ABl.,规律总结：要证线线平行，不具备公理4的条件，没有线面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面、l、AB，于是作辅助线围绕找展开,1下列说法中不正确的是( ) A若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边 B同一个平面的两条垂线一定共面 C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 答案 D,2已知直线a，b，平面，且a，下列条件中，能推出ab的是( ) Ab Bb Cb DbA 答案 C,3已知直线l平面，直线m平面，则下列四个说法中正确的是( ) lm；lm；lm；lm. A B C D 答案 D,4.已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，如图所示，且AFDE，AD6，则EF_. 答案 6 解析 因为AF平面ABCD，DE平面ABCD，所以AFDE，又AFDE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EFAD6.,5.如图，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F是BE的中点 求证：(1)DF平面ABC； (2)AFBD,(2)由(1)知CGGF，又CGAB， CG面ABE， CGAF，DFCG，AFDF 在RtABE中，AFBE， AF面BDF，AFBD,
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