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,5.4 平面向量应用举例,第五章 平面向量,数学 苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：,ab,x1y2x2y10,ab0,x1x2y1y20,2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积.即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角).,矢量,加法和减法,3.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若 ，则A，B，C三点共线.( ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.( ) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.( ),y28x (x0),解析,题型一 向量在平面几何中的应用,思维点拨,解析,思维升华,例1 如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.,思维点拨,思维升华,解析,正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明.,题型一 向量在平面几何中的应用,例1 如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.,题型一 向量在平面几何中的应用,例1 如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.,思维升华,思维点拨,解析,证明 建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，DP(0 )，,题型一 向量在平面几何中的应用,例1 如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.,思维升华,思维点拨,解析,用向量方法解决平面几何问题可分三步： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；,思维升华,思维点拨,解析,题型一 向量在平面几何中的应用,例1 如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.,(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.,思维升华,思维点拨,解析,题型一 向量在平面几何中的应用,例1 如图所示，四边 形ABCD是正方形，P 是对角线DB上的一点 (不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.,跟踪训练1 (1)在边长为1的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中点，则 .,(2)在ABC所在平面上有一点P，满足 则PAB与ABC的面积的比值是 .,P是线段AC的三等分点(靠近点A)，,题型二 向量在三角函数中的应用,例2 已知在锐角ABC中，两向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)， 且p与q是共线向量. (1)求A的大小；,解析,思维升华,解析,思维升华,解 pq， (22sin A)(1sin A)(cos Asin A) (sin Acos A)0，,题型二 向量在三角函数中的应用,ABC为锐角三角形， A60.,例2 已知在锐角ABC中，两向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)， 且p与q是共线向量. (1)求A的大小；,解析,思维升华,解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.,题型二 向量在三角函数中的应用,例2 已知在锐角ABC中，两向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)， 且p与q是共线向量. (1)求A的大小；,解析,思维升华,例2 (2)求函数y2sin2B cos 取最大值时，B的大小.,解析,思维升华,2sin2Bcos(2B60) 1cos 2Bcos(2B 60),例2 (2)求函数y2sin2B cos 取最大值时，B的大小.,1cos 2Bcos 2Bcos 60sin 2Bsin 60,解析,思维升华,1sin(2B30)， 当2B3090， 即B60时，函数取最大值2.,例2 (2)求函数y2sin2B cos 取最大值时，B的大小.,解析,思维升华,解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.,例2 (2)求函数y2sin2B cos 取最大值时，B的大小.,跟踪训练2 (1)已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m( ，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为 .,又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A 2Rsin(AB)2Rsin Cccsin C，,跟踪训练2 (1)已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m( ，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为 .,(2)ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n( ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为 .,(2)ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n( ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为 .,题型三 向量在解析几何中的应用,解析,思维升华,例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且 (1)求动点P的轨迹方程；,解 设P(x，y)，则Q(8，y).,解析,思维升华,题型三 向量在解析几何中的应用,例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且 (1)求动点P的轨迹方程；,解析,思维升华,题型三 向量在解析几何中的应用,例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且 (1)求动点P的轨迹方程；,点P在椭圆上，,向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.,解析,思维升华,题型三 向量在解析几何中的应用,例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且 (1)求动点P的轨迹方程；,(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题.特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法.,解析,思维升华,题型三 向量在解析几何中的应用,例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且 (1)求动点P的轨迹方程；,解析,思维升华,例3 (2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求 的最值.,解析,思维升华,例3 (2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求 的最值.,解析,思维升华,例3 (2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求 的最值.,解析,思维升华,例3 (2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求 的最值.,解析,思维升华,例3 (2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求 的最值.,向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.,解析,思维升华,例3 (2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求 的最值.,(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题.特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法.,(4k)(k5)670， 解得k2或k11.,跟踪训练3 已知向量 (k,12)， (4,5)， (10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为 .,跟踪训练3 已知向量 (k,12)， (4,5)， (10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为 .,当k0时可知k2，则过点(2，1) 且斜率为k2的直线方程为y12(x2)， 即2xy30.,2xy30,解析,答案,思维升华,题型四 平面向量在物理中的应用,例4 在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为 .,解析,答案,思维升华,题型四 平面向量在物理中的应用,例4 在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为 .,解析,答案,思维升华,题型四 平面向量在物理中的应用,例4 在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为 .,解析,答案,思维升华,题型四 平面向量在物理中的应用,例4 在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为 .,BOD30， 航向为北偏西30.,解析,答案,思维升华,题型四 平面向量在物理中的应用,例4 在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为 .,北偏西30,BOD30， 航向为北偏西30.,解析,答案,思维升华,在使用向量解决物理问题时要注意： (1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系； (2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；,题型四 平面向量在物理中的应用,例4 在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为 .,北偏西30,解析,答案,思维升华,(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解； (4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题.,题型四 平面向量在物理中的应用,例4 在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为 .,北偏西30,跟踪训练4 质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 .,跟踪训练4 质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 .,审题路线图系列3 三审图形抓特点,典例：如图所示，把两块斜边长相等的直 角三角板拼在一起，若 ， 则x ，y .,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,方法一 结合图形特点，,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,又BED60，,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成).根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷.方法二较方法一略显繁杂.,审 题 路 线 图,解 析,温 馨 提 醒,方 法 与 技 巧,1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.,2.以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.,失 误 与 防 范,1.注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价.,2.注意向量共线和两直线平行的关系.,3.利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点， 所以点M是AC和BD的中点，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,所以平行四边形ABCD是菱形.,菱形,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,所以目标函数为22(x2y)xyx3y. 作出不等式组对应的平面区域， 由图可知当目标函数经过图中点(1,2)时取得最大值5.,答案 5,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,4.已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足 x2，则点P的轨迹是 .,y2x6.,抛物线,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,150,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,7.已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4 .,解析 由物理知识知：f1f2f3f40， 故f4(f1f2f3)(1,2).,(1,2),2,3,4,5,6,9,10,1,7,8,2,3,4,5,6,9,10,1,7,8,求z2x3y的最大值， 由线性规划知识， 当x0，y1时，zmax3. 答案 3,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,9.已知ABC中，C是直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE2EB，求证：ADCE.,证明 建立如图所示的直角坐标系， 设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y).,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,即(xa，y)2(x，ay)，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,10.已知A，B，C三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，其中,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,得(cos 3)cos sin (sin 3)1，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,min|ab|，|ab|min|a|，|b|； min|ab|，|ab|min|a|，|b|； max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2； max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2.,1,2,3,4,5,解析 由于|ab|，|ab|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故错. 当a，b夹角为锐角时，|ab|ab|，此时，|ab|2|a|2|b|2； 当a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2； 当ab时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2. 答案 ,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 设BC中点为M，,1,2,3,4,5,即P0MAB，,则CNAB，ACBC.,1,2,3,4,5,答案 ,1,2,3,4,5,ABC为锐角，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则 的最小值为 .,解析 方法一 以D为原点，,分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，,设DCa，DPx.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案 5,1,2,3,4,5,解 设点P(x，y)，则Q(1，y)，,1,2,3,4,5,(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)， 化简得P的轨迹C的方程为y24x.,1,2,3,4,5,解 设直线AB的方程为xmy1(m0).,1,2,3,4,5,得y24my40，(4m)2160，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
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