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第十一节 导数在研究函数中的应用,1.函数的单调性与导数 (1)设函数y=f(x)在某个区间内可导 若 f(x)0 ,则f(x)在这个区间内是增函数; 若 f(x)0 或 f(x)0 时,f(x)在相应区间上是增函数, 当 f(x)0 时,f(x)在相应区间上是减函数.,2.函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f(x)0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值与极大值点 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f(x)0 ,右侧 f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.,3.函数的最值与导数 (1)函数最值的概念 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,函数f(x)在a,b上一切函数值中的最大(最小)值,叫做函数y=f(x)的最大(最小)值. (2)求函数最值的步骤 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最值,可分两步进行: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 4.常用的数学方法与思想 分类讨论思想、数形结合思想、转化化归思想.,1.(2016郑州一中调研)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数在(a,b)内的图象如下图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有 ( ),A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1.B 【解析】对导函数的图象研究发现其函数值正负构成是(+,-),(-,+),(+,-),所以可画出原函数的大致图象,数形结合,易知其在开区间(a,b)内有两个极大值点.,【变式训练】 (2015广东高考)设a1,函数f(x)=(1+x2)ex-a. (1)求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)在(-,+)上仅有一个零点. 【解析】(1)f(x)=(1+x2)ex-a, f(x)=2xex+(1+x2)ex=(2x+1+x2)ex=(1+x)2ex0, 故函数f(x)的单调递增区间为(-,+). (2)由题意可得,f(0)=(1+02)e0-a=1-aae0-a=0, 根据零点存在定理,由于f(0)f(a)0,故f(x)在(0,a)内存在零点. 结合(1)中所得f(x)在(-,+)上单调递增, 由此可得,f(x)在(-,+)上仅有一个零点.,(2015南通三模)设函数f(x)=x2+bln(x+1). (1)若x=1时,函数f(x)取最小值,求实数b的值; (2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围. 【解题思路】注意定义域优先;利用单调性确定最值对应的自变量的取值;分单调递增与递减讨论. 【参考答案】(1)由x+10得x-1, f(x)的定义域为(-1,+). 对x(-1,+),都有f(x)f(1), f(1)是函数f(x)的最小值,故有f(1)=0,【变式训练】 (2015张掖诊断)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,aR. (1)若曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为4e,求切线方程; (2)试求f(x)的单调区间并求出当a0时f(x)的极小值. 【解析】(1)f(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=ax2+(2a+1)xex, f(1)=(3a+1)e=4e,解得a=1. f(1)=e, 切点坐标为(1,e). 切线方程为y-e=4e(x-1). 即所求切线方程为4ex-y-3e=0.,与导数有关的不等式恒成立与存在性两大问题的求解策略 由不等式恒成立或存在性求参数范围是每年高考的命题热点、难点,综合性强,难度高,通常以两种情况体现:(1)不等式恒成立问题求参数范围;(2)不等式存在性问题求参数范围.,1.不等式恒成立问题求参数范围 典例1 (2015北京通州区模拟)已知函数f(x)=ae-x-x+1,aR. (1)若对任意x(0,+),f(x)0恒成立,求a的取值范围;,【参考答案】(1)由f(x)0, 所以g(x)在(0,+)上单调递增. 所以-1g(x), 所以a-1.,2.不等式存在性问题求参数范围 典例2 (2015新课标全国卷)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是( ),1.(2014新课标全国卷)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是 ( ) A.(2,+) B.(-,-2) C.(1,+) D.(-,-1) 1.B 【解析】当a=0时,显然不满足条件,故a0;由f(x)=ax3-3x2+1可得f(x)=3ax2-6x,由f(x)=0可得x=0或,2.(2015山东高考)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR. (1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由; (2)若x0,f(x)0成立,求a的取值范围.,
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