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第三节 函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性,2.函数的周期性 (1)周期函数:若f(x)对于定义域中任意x均有 f(x+T)=f(x) (T为不等于0的常数),则f(x)为周期函数,T是这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中,存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.,3.函数的奇偶性与周期性的常用结论表,4.函数的对称性与周期性的关系 (1)若函数f(x)关于直线x=a,x=b(ab)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=2(b-a). (2)若函数f(x)关于点(a,0),(b,0)(ab)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=2(b-a). (3)若函数f(x)关于点(a,0)与直线x=b(ab)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=4(b-a). 5.常用的数学方法与思想 函数奇偶性的判断方法,数形结合思想、分类讨论思想.,1.判断下列说法是否正确(打“”或“”). (1)函数f(x)是偶函数,若在(-,0)上单调递增,则在(0,+)上必递减.( ) (1) (2)若函数f(x)=0,则x(-1,1,函数f(x)既是奇函数又是偶函数.( ) (2) (3)若函数y=f(x-1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.( ) (3) (4)若函数f(x)在定义域上满足f(x+2)=-f(x),则f(x)是周期为4的周期函数.( ) (4),C.y=cos x D.y=ex-e-x 2.D 【解析】由函数的奇偶性知选项A中的函数是非奇非偶函数,选项B中的函数是偶函数,选项C中的函数是偶函数,选项D中的函数f(-x)=e-x-ex=-f(x),xR,故其是奇函数.,命题角度1:函数奇偶性的判断 典例1 判断下列函数的奇偶性,并证明. (1)f(x)=x4+x2+1; (2)f(x)=x2-|x|+1,x-1,4; (3)f(x)=|x+1|-|x-1|. 【解题思路】(1)(2)(3)的突破口是函数定义域的对称性,再找出f(x),f(-x)之间的关系. 【参考答案】(1)f(x)的定义域为R,且f(x)=f(-x), 则f(x)为偶函数. (2)由于f(x)=x2-|x|+1,x-1,4的定义域不是关于原点对称的区间,因此f(x)是非奇非偶函数. (3)函数的定义域x(-,+),关于原点对称. 因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), 所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.,命题角度2:函数奇偶性的应用 典例2 (2015天一大联考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+2-x,则f(2)+g(2)=( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【解题思路】在f(x)-g(x)=x3+2-x中用-x代替x,并利用奇、偶函数的定义求解.f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,故有f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x),由f(x)-g(x)=x3+2-x得f(-x)-g(-x)=-x3+2x,即f(x)+g(x)=-x3+2x,因此f(2)+g(2)=-23+22=-4. 【参考答案】 B,已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,x0时,f(x)=x+1,则f(x)的解析式为 . 【解题思路】设x0,从而f(-x)=(-x)+1.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1.当x=0,【变式训练】,1.【解析】解法1:f(x)的定义域为R,当x0时,-x0, f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x). 对于xR总有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. 解法2:当x0时,f(x)=x2-2x=x2-2|x|. 当x0时,f(x)=x2+2x=x2-2|x|,f(x)=x2-2|x|, f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),f(x)为偶函数.,(2015北京丰台区测试)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x2-2x,如果函数g(x)=f(x)-m(mR)恰有4个零点,则m的取值范围是 . (-1,0) 【解析】函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x2-2x,可知x0,f(x)=x2+2x,所以,典例3 (2015蚌埠质检)函数y=f(x)是R上的奇函数,满足f(3+x)=f(3-x),当x(0,3)时,f(x)=2x,则当x(-6,-3)时,f(x)等于 ( ) A.2x+6 B.-2x-6 C.2x-6 D.-2x+6 【解题思路】由f(3+x)=f(3-x)可知f(x)=f(6-x),又y=f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x),故-f(-x)=f(6-x),即f(x)=-f(x+6),从而f(6-x)= -f(x-6)=-f(x+6),则f(x)=f(x+12),即f(x)是周期为12的周期函数,当x(-3,0)时,-x(0,3),f(-x)=2-x,即f(x)=-2-x,当x(-6,-3)时,x+6(0,3),f(x+6)=2x+6=f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2x+6. 【参考答案】 D,函数的奇偶性、周期性与对称性的应用,命题角度1:奇偶性与对称性相互转化应用于求值 典例1 已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x=1对称,当x0,1时,f(x)=2x-1,则f(2017)+f(2018)=( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解题思路】利用奇函数得到f(-x)=-f(x)及f(0)=0,利用f(x)的图象关于直线x=1对称,得到f(x+2)=f(-x),然后将二者结合求解.因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以有f(x+2)=f(-x)=-f(x),因此f(x+4)=f(x),故函数的周期为4,又函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,由图象关于直线x=1对称得f(2)=f(0)=0,而f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0),所以f(2017)+f(2018)=(21-1)+(20-1)=1. 【参考答案】 C,若函数f(x+1)为偶函数,则f(x)的图象的对称轴方程为 . 【解题思路】解法一:因为函数f(x+1)为偶函数,所以函数f(x+1)的图象的对称轴方程为x=0,而f(x)的图象可由函数f(x+1)的图象向右平移一个单位得到,故f(x)的图象的对称轴方程为x=1. 解法二(构造函数法):由题可设f(x+1)=x2,则令x+1=t,得x=t-1,所以f(t)=(t-1)2,因此f(x)=(x-1)2,其图象的对称轴方程为x=1. 【参考答案】 x=1,命题角度2:周期性与对称性互化应用于求值 典例2 设函数f(x)的定义域为R,其图象既关于直线x=2对称,又关于直线x=7对称,且在闭区间0,7上,只有f(1)=f(3)=0.则方程f(x)=0在闭区间-2016,2016上的根的个数为( ) A.806 B.804 C.802 D.800 【解题思路】函数f(x)的图象关于直线x=2和直线x=7对称等价于关系式f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x).因为函数f(x)的图象既关于直线x=2对称,又关于直线x=7对称,所以有f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),即有f(x)=f(4-x)且f(x)=f(14-x),从而得到f(4-x)=f(14-x),则f(x+10)=f(x),故函数的周期为T=10.因为f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(x)在0,10和-10,0上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在0,2016上有404个解,在-2016,0)上有402个解,所以函数y=f(x)在-2016,2016上有806个解. 【参考答案】 A,【针对训练】,2.若函数f(x-2)为奇函数,则f(x)的图象的对称中心为 . 【答案】(-2,0) 【解析】解法一:因为函数f(x-2)为奇函数,所以函数f(x-2)的图象的对称中心为(0,0),而f(x)的图象可由函数f(x-2)的图象向左平移2个单位得到,故f(x)的图象的对称中心为(-2,0). 解法二:构造函数法,由题可设f(x-2)=x,则令x-2=tx=t+2,所以f(t)=t+2,因此f(x)=x+2,其图象的对称中心为(-2,0).,
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