向量组的线性相关性.ppt

第四章 向量组的线性相关性,4.1 n维向量,（一） 定义1 n个有次序的数 所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。以下除特殊说明外，一般只讨论实向量。 n维向量可写成一行，也可写成一列。按第二章的规定，分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此，n 维列向量 与n维行向量 总看作是 两个不同的向量（按定义1， 与 应是同一个向量）。,4.1 n维向量,列向量用小写字母 等表示, 行向量则用 等表示，所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象，在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式三个有次序的实数，也就是3维向量，因此当 时, n维向量可以把有向线段作为几何形象，但当 时，n维向量就不再有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。 （二） n维向量的线性运算 （三） n维向量的线性运算满足的性质,4.2 n维向量组的概念,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。例如一个 矩阵 有n个m维列向量 它们组成的向量组 称为矩阵A的列向量组。 矩阵A又有m个n维行向量 它们组成的向量组 称为矩阵A的行向量组,4.2 n维向量组的概念,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 例如 m个n维列向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 m个n维行向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 可见矩阵与向量组是一一对应的关系。,4.3 线性组合的概念,定义2 给定向量组A： ，对于任何一组实数 ，向量 称为向量组A的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。 给定向量组A： 和向量 ,如果存在一组数 ，使 则向量 是向量组A的线性组合，这时称向量 能由向量组A线性表示。,4.4 向量组等价的概念,定义3 设有两个向量组A： 及B： ，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。 A： B： A组由B组线性表示 即 （*）,4.4 向量组等价的概念,矩阵乘法形式表示 即 A=KB（A组由B组线性表示） （*）为列向量组构成矩阵算法形式，（*）也可写成行向量组构成矩阵算法形式 如果A组与B组等价，这里矩阵K可逆 B=K-1A （B组由A组线性表示） 即 A=KB而 B=K-1A, A组与B组等价。,4.5 向量组的相关性,定义4 给定向量组A： ，如果存在不全为零的数 ，使 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。 向量组A： 线性相关，也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。这是因为： 如果向量组A线性相关，则有不全为0的数 使 。因 不全为0, 不妨设 于是便有 即a1能由 线性表示。,4.5 向量组的相关性,如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表示，不妨设 能由 线性表示，即有 使 ，于是 因为 这m个数不全为0（至少 ）,所以向量组A线性相关。 即 向量组 线性相关 中至 少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。 向量组 线性无关 中任何一个向量都不能被其余向量线性表示。,4.5 向量组的相关性,定理2 向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m. 例1 n维向量组 ， ， 称为n维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 是n阶单位矩阵，由 ，知 ，即R(E)等于向量组中向量个数，故由定理2知此向量组线性无关的。,例2 已知 ， ， 试讨论向量组及向量组的线性相关性。 解 对矩阵 施加初等行变换变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵 及 的秩，利用定理2即可得到结论。 可见 ，向量组 线性相关； ， 向量组 线性无关。,例3 已知向量组 线性无关， ， ，试证向量组 线性无关 证 设有 使 即 亦即 因 线性无关，故有 由于此方程组的系数行列式 故方程组只有零解 所以向量组 线性无关。,4.5 向量组的相关性,线性相关性是向量组的一个重要性质，下面先介绍与之有关的一些简单的结论。 定理3 （1）若向量组A： 线性相关，则向量组 B： 也线性相关。反言之，若向量组B线性无 关，则向量组A也线性无关。 （2）设 ， 即向量 添上一个分量后得向量 ,若向量组A： 线性无关，则向量组B： 也线性无关。反言之， 若向量组B线性相关，则向量组A也线性相关。,4.5 向量组的相关性,（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数 m时一定线性相关。 （4）设向量组A： 线性无关，而向量组B： 线性相关，则向量 必能由向量组A线 性表示，且表示式是唯一的。,4.6 向量组的秩,定理2显示，在讨论向量组的线性相关性时，矩阵的秩起 了十分重要的作用。下面把秩的概念引进向量组。 定义5 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量 满足 （i）向量组A0： 线性无关； （ii）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩。 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。 联系上一章中矩阵秩的定义，并依据定理2，立即可得,4.6 向量组的秩,定理4 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量 组的秩。 这个定理给出求向量组秩的方法。 例4 全体n维向量构成的向量组记作Rn,求Rn的一个最大无关 组及Rn的秩。 解 在例1中，我们证明了n维单位坐标向量构成的向量组 是线性无关的，又根据定理3的结论（3），知Rn中的任意n+1个向量都线性相关，因此向量组 E是Rn的一个最大无关组，且Rn的秩等于n. 显然，Rn的最大无关组很多，任何n个线性无关的n维向量都是Rn的最大无关组。,例5 设矩阵 求矩阵A的列向量组的最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。 解 对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。 知R(A)=3，故列向量组的最大无关组含3个向量。而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故 为列向量组的一个最大无关组。这是因为 知 故 线性无关。,为把 用 线性表示，把A再变成行最简形矩阵 即得,4.6 向量组的秩,定理5 设向量组能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。 证 设向量组B的一个最大无关组为 ，向量组A的一个最大无关组为 ，要证 因B0组能由B组线性表示，B组能由A组线性表示，A组能由A0组线性表示，故B0组能由A0组线性表示，即存在系数矩阵 使,4.6 向量组的秩,如果 rs，则方程组 （简记为Kx=0） 有非零解(因 ,从而方程组 有非零解，即 有非零解，这与B0组线性无关矛盾,因此 rs不能成立，所以 。 推论1 等价的向量的秩相等。 推论2 设 ，则 。 推论3 （最大无关组的等价意义） 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组。,4.7 向量空间,n维向量的全体所构成的集合Rn叫做n维向量空间。下面介绍向量空间的有关知识。 定义6 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法和乘法两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。 所谓封闭，是指在集合V中可以进行加法和乘法两种运算。具体地说，就是：若 ，则 ；若， 则,4.7 向量空间,例8 3维向量的全体R3,就是一个向量空间，因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量，数乘3维向量也仍然是3维向量，它们都属于R3,我们可以用有向线段形象地表示3维向量，从而向量空间R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。 类似地，n维向量的全体Rn,也是一个向量空间，不过当n3时，它没有直观的几何意义。,4.7 向量空间,例9 集合 是一个向量空间. 因为若 ，则 ， 。 例10 集合 不是一个向量空间，因为若 ，则 。,4.7 向量空间,例11 设 、 为两个已知的n维向量，集合 是一个向量空间，因为若 ， ，则有 ， 这个向量空间称为由向量 、 所生成的向量空间 一般地，由向量组 所生成的向量空间为,4.7 向量空间,例12 设向量组 与向量组 等价，记 ， 试证 V1=V2 证 设 , 则x可由 线性表示, 因 可由 线性表示，故x可由 线性表示，所 以 ，这就是说，若 , 则 , 因此 类似地可证：若 , 则 , 因此 因为 ， ，所以 。,4.7 向量空间,定义7 设有向量空间V1及V2，若 ，就称V1是V2的子空间。 例如任何由n维向量所组成的向量空间V，总有 ，所以这样的向量空间总是Rn的子空间。 定义8 设V为向量空间, 如果r个向量 ,且满足 （i） 线性无关； （ii）V中任一向量都可由 线性表示。 那么，向量组 就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r 维向量空间。,4.7 向量空间,如果向量空间V没有基，那么V的维数为0，0维向量空间只含一个零向量0。 若把向量空间V看作向量组，则按定理5的推论3可知，V的基就是向量组的最大线性无关组，V的维数就是向量组的秩。 例如 ，由例4知，任何n个线性无关的n维向量都可以是向量空间Rn的一个基，且由此可知Rn的维数为n。所以我们把Rn称为n维向量空间。 又如，向量空间 的一个基可取为： 。并由此可知它是n-1维向量空间。,4.7 向量空间,由向量组 所生成的向量空间 显然向量空间V与向量组 等价，所以向量组 的最大无关组就是V的一个基，向量组 的秩就是V的维数。 若向量空间 ，则V的维数不会超过n,并且，当的维 数为n时， 。 若向量组 是向量空间V的一个基, 则V可表示为 这就较清楚地显示出向量空间V的构造。,例13 设 验证 是R3的一个基，并把 用这个基线性表示。 解 要证 是R3的一个基， 只要证 线性无关，即只要证AE. 设 即 ，记作 B=AX 对矩阵 施行初等行变换，若A能变为E,则 为R3的一个基，且当A变为E时，B变为X=A-1B。,因有AE,故 为R3的一个基，且,