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第三节 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词,【知识梳理】 1.命题pq,pq,p的真假判断,真,真,假,假,真,假,假,真,真,假,假,真,2.全称量词和存在量词,3.全称命题和特称命题,xM,p(x),x0M,p(x0),x0M,xM,【特别提醒】 1.pq一真则真,pq全真才真;pq一假则假,pq全假才假;p与p的真假相反. 2.有些全称命题常省略全称量词,如对顶角相等. 3.对含有量词的命题否定时,不要忽略量词的改写.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P18习题1.3A组T1(3)改编) 已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题p,q,pq,pq中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选B. p和q显然都是真命题,所以p,q都是假命题,pq, pq都是真命题.,2.(选修2-1P27习题1.4A组T3(2)改编)命题“所有可以被5整除的整数,末位数字都是5”的否定为 .,【解析】全称命题的否定为特称命题,其否定为“有些可以被5整除的整数,末位数字不是5”. 答案:“有些可以被5整除的整数,末位数字不是5”,感悟考题 试一试 3.(2015湖北高考)命题“x0(0,+),lnx0=x0-1”的否定是 ( ) A.x(0,+),lnxx-1 B.x(0,+),lnx=x-1 C.x0(0,+),lnx0x0-1 D.x0(0,+),lnx0=x0-1,【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为x(0,+),lnxx-1.,4.(2014湖南高考)设命题p:xR,x2+10,则p 为 ( ) A.x0R,x02+10 B.x0R,x02+10 C.x0R,x02+10 D.xR,x2+10 【解析】选B.p:x0R,x02+10.,5.(2016汾阳模拟)已知命题p:xR,x2-5x+60,命题q:,R,使sin(+)=sin+sin,则下列命题为真命题的是 ( ) A.pq B.p(q) C.(p)q D.p(q),【解析】选C.当2x3时,x2-5x+60,所以命题p假.当=0,R时,sin(+)=sin+sin成立,所以命题q真,即p为真,q为假.,考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 【典例1】(1)(2014重庆高考)已知命题p:对任意xR,总有2x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是 ( ) A.pq B.pq C.pq D.pq,(2)若命题“pq”为假命题,且“p”为假命题, 则 ( ) A.“p或q”为假 B.q假 C.q真 D.p假,【解题导引】(1)先判断命题p,q的真假,再根据真值表求解. (2)根据真值表判断.,【规范解答】(1)选D.易知命题p为真命题,因为x1无法推出x2成立,所以命题q为假命题,故pq为假命题,pq为假命题,pq为假命题,pq为真命题. (2)选B.由“p”为假,知“p”为真,又“pq”为假命题,从而q为假命题.,【规律方法】 1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 (1)先判断简单命题p,q的真假. (2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假.,2.含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)pq真p,q至少一个真(p)(q)假. (2)pq假p,q均假(p)(q)真. (3)pq真p,q均真(p)(q)假. (4)pq假p,q至少一个假(p)(q)真. (5)p真p假;p假p真.,【变式训练】(2016太原模拟)设命题p:函数y=sin2x 的最小正周期为 ;命题q:在锐角三角形ABC中,sinA cosB,在命题p;pq;pq;p(q)中,真命 题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选C.因为函数y=sin2x的最小正周期为T= =,所以命题p假;在锐角三角形ABC中,A+B , 即A -B0,又因为Asin ,即sinAcosB,所以命题q真,所以p 真,q假,pq真,pq真,p(q)假.,【加固训练】 1.已知命题p:x0R,使tanx0=1,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2,给出下列结论: 命题“pq”是真命题;命题“p(q)”是假命题;命题“(p)q”是真命题;命题“(p) (q)”是假命题.其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选D.命题p真,q真,所以正确;正确;正确;正确.,2.如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列结论: 命题“p且q”是真命题;命题“p且q”是假命题;命题“p或q”是真命题;命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选A.“非p或非q”是假命题,则“p且q”为真命题,“p或q”为真命题,从而正确.,考向二 全称命题、特称命题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:全称命题、特称命题的真假判断 【典例2】(2014全国卷)不等式组 的解 集记为D.有下面四个命题: p1:(x,y)D,x+2y-2, p2:(x0,y0)D,x0+2y02,p3:(x,y)D,x+2y3, p4:(x0,y0)D,x0+2y0-1. 其中真命题是 ( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3,【解题导引】先画出不等式组表示的可行域,再转化为求目标函数z=x+2y的取值范围,并由此判断四个命题的真假.,【规范解答】选B.画出可行域如图所示,设x+2y=z,则y= 当直线经过点(2,-1)时z取得最小值, zmin=2+2(-1)=0,即z0, 所以命题p1,p2是真命题.,命题方向2:全称命题、特称命题的否定 【典例3】(1)(2015全国卷)设命题p:n0N, n02 ,则p为 ( ) A.nN,n22n B.n0N,n02 C.nN,n22n D.n0N,n02= (本题源自A版选修2-1P27习题1.4A组T3(3),(2)(2015浙江高考)命题“nN*,f(n)N*且f(n)n”的否定形式是 ( ) A.nN*,f(n)N*且f(n)n B.nN*,f(n)N*或f(n)n C.n0N*,f(n0)N*且f(n0)n0 D.n0N*,f(n0)N*或f(n0)n0,【解题导引】(1)特称命题的否定是全称命题,“”的否定是“”. (2)全称命题的否定是特称命题,“且”的否定是“或”.,【规范解答】(1)选C.p:nN,n22n. (2)选D.根据全称命题的否定是特称命题,否定结论,“且”要换为“或”,“”换为“”,可知选D.,【技法感悟】 1.全称命题与特称命题真假的判断方法,2.全称命题与特称命题的否定 (1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写. (2)否定结论:对原命题的结论进行否定.,【题组通关】 1.(2016黄山模拟)命题“xR,2x0”的否定 是 ( ) A.xR,2x0 B.xR,2x0 C.x0R, 0 D.x0R, 0,【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,故命题 “xR,2x0”的否定是“x0R, 0”.,2.(2016唐山模拟)设p:“x0Z,x031”,则p 为( ) A.x0Z,x031 D.xZ,x31 【解析】选D.特称命题的否定是全称命题,故p为“xZ,x31”.,3.(2013全国卷)已知命题p:xR,2x3x;命题 q:x0R,x03=1-x02,则下列命题中为真命题的是 ( ) A.pq B.pq C.pq D.pq,【解析】选B.对于命题p:取x=-1,可知为假命题,p为真命题;对于命题q:令f(x)=x3+x2-1,则f(0)f(1)0,故f(x)有零点,即方程x3+x2-1=0有解,所以q:x0R, x03=1-x02为真命题,q为假命题,从而pq为真命题.,4.(2016偃师模拟)已知命题p:x0R,log2( +1) 0,则 ( ) A.p是假命题,p:xR,log2(3x+1)0 B.p是假命题,p:xR,log2(3x+1)0 C.p是真命题,p:xR,log2(3x+1)0 D.p是真命题,p:xR,log2(3x+1)0,【解析】选B.因为3x+11,所以log2(3x+1)0恒成立,则命题p是假命题;又p:xR,log2(3x+1)0.,考向三 根据命题的真假求参数的取值范围 【典例4】(1)(2015山东高考)若 “x ,tanxm”是真命题, 则实数m的最小值为 .,(2)设命题p:x0R,x02-x00,若pq为真,pq为假,则实数a的取值范围为 .,【解题导引】(1)转化为求tanx的最大值,然后求实数m的最小值. (2)分别求命题p和q为真时a的取值范围,再由题意列关于a的不等式(组)求解.,【规范解答】(1)由0x ,可得0tanx1. 由tanxm恒成立可知m1,即m的最小值是1. 答案:1,(2)因为x2-x= 所以(x2-x)min= 由题意,若p为真,则- - , 若q为真,则=4a2-40, 解得-1a1.,由pq为真,pq为假知p与q一真一假, 当p真q假时, 解得a1. 当p假q真时, 解得-1a- .,综上所述,a的取值范围是 1,+). 答案: 1,+),【母题变式】1.若本例(1)条件“x ”变为 “x0 ”,求实数m的取值范围. 【解析】当x 时,(tanx)min=tan0=0, 由题意,得0m,即m0, 所以实数m的取值范围是0,+).,2.若本例(1)条件“x ,tanxm”变为 “x ,sinx+cosxm”,求实数m的取值范围.,【解析】因为sinx+cosx= 所以(sinx+cosx)max= 所以 m,即m , 即实数m的取值范围为 ,+).,【规律方法】根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1)全称命题:可转化为恒成立问题,特称命题转化为存在性问题.,(2)含逻辑联结词问题: 求出每个命题是真命题时参数的取值范围; 根据题意确定每个命题的真假; 由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解.,【变式训练】已知命题p:“x0,1,aex”;命题q:“x0R,使得x02+4x0+a=0”.若命题“pq”是真命题,则实数a的取值范围是 .,【解析】若命题“pq”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由x0,1,aex,得ae;由x0R,使x02+4x0+a=0,知=16-4a0,a4,因此ea4. 答案:e,4,【加固训练】 1.命题“x0R,2x02-3ax0+90”为假命题,则实数a的取值范围为 .,【解析】因题中的命题为假命题,则它的否定“x R,2x2-3ax+90”为真命题,也就是常见的“恒成立” 问题,因此只需=9a2-4290,即-2 a2 . 答案:-2 ,2 ,2.已知命题p:关于x的不等式ax1(a0,a1)的解集是x|x0,命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果pq为真命题,pq为假命题,求实数a的取值范围.,【解析】由关于x的不等式ax1(a0,a1)的解集是x|x0的解集为R, 则,解得a . 因为pq为真命题,pq为假命题, 所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”, 故 解得a1或0a , 故实数a的取值范围是 1,+).,
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