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3.2 复数的四则运算,第 3章 数系的扩充与复数的引入,1.掌握两个复数相加减的法则，会正确地进行复数的加减运算. 2.掌握共轭复数的概念及其简单的性质. 3.掌握两个复数相乘除的法则，能熟练地进行复数的四则运算及复数乘方的运算.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 复数代数形式的加减运算 1.复数的加减法法则 设z1abi，z2cdi， 则z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i， 即两个复数相加(减)，只需要把它们的实部与实部、虚部与虚部分别相加(减). 2.复数的加法的运算律 依复数加法法则，容易验证：复数的加法满足交换律与结合律. 即对于任意的复数z1，z2，z3C，有 (1)z1z2z2z1； (2)(z1z2)z3z1(z2z3).,思考 (1)两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 答案 是复数，唯一确定. (2)若复数z1，z2满足z1z20，能否认为z1z2? 答案 不能，例如可取z132i，z22i.,答案,知识点二 复数的乘法 1.复数的乘法法则 (abi)(cdi)acadibcibdi2 (acbd)(adbc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意的z1，z2，z3C，有 (1)z1z2z2z1； (2)(z1z2)z3z1(z2z3)； (3)z1(z2z3)z1z2z1z3.,3.复数的乘方 设z1，z2C，m，nN*，则 (1)zmznzmn； (2)(zm)nzmn； (3)(z1z2)n . 其中，应注意特别的重要结论： i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30. 思考 写出下列各题的计算结果. (1)(ab)2_； (2)(3a2b)(3a2b)_； (3)(3a2b)(a3b)_.,答案,a22abb2,9a24b2,3a211ab6b2,思考 判断. (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( ) (2)若z1，z2C，且 0，则z1z20.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( ) (4)在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.( ),答案,知识点四 复数的除法 利用共轭复数的乘积为实数这一性质，对分母实数化，即得复数除法法则：,其中cdi0. 这一公式不必背记，只需理解其分母实数化的思想方法就可以了.,思考 写出下列各题的计算结果.,i,i,i,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 复数加减法的运算 例1 计算： (1)(34i)(43i)； 解 原式(34)(43)i1i. (2)(56i)(12i)(34i). 解 原式(56i)(12i)(34i) (513)(624)i 10i 1.,反思与感悟,反思与感悟,当多个复数进行加减时，既可以直接按加减法的法则进行运算，也可以先化减为加，然后分别求其实部、虚部的代数和.,解析答案,跟踪训练1 计算(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0112 012i)(2 0122 013i). 解 方法一 原式(12342 0112 012)(23452 0122 013)i1 0061 006i. 方法二 (12i)(23i)1i， (34i)(45i)1i， (2 0112 012i)(2 0122 013i)1i. 将上列1 006个式子累加可得 原式1 006(1i)1 0061 006i.,解析答案,题型二 复数乘除法的运算 例2 计算：(1)(2i)(2i)； 解 (2i)(2i)4i24(1)5； (2)(12i)2. 解 (12i)214i(2i)214i4i234i. 反思与感悟 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等. (2)像34i和34i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为abi和abi，其数值特征为(abi)(abi)a2b2.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 计算：(1)(12i)(34i)(2i)； 解 (12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i； (2)(34i)(34i)； 解 (34i)(34i)32(4i)29(16)25； (3)(1i)2. 解 (1i)212ii22i.,解析答案,例3 计算：(1)(12i)(34i)；,反思与感悟,反思与感悟,复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).,解析答案,解析答案,题型三 共轭复数及应用,所以2(abi)(abi)6i，即3abi6i.,故f(z)2(2i)(2i)3i64i.,反思与感悟,反思与感悟,解析答案,即(z1)(z13i)0， z1或z13i.,复数的运算在复数开平方运算和分解因式中有广泛应用，下面通过具体的实例加以说明. 1.求复数的平方根 复数zabi开平方，只要令其平方根为xyi，利用平方根的定义，以及复数相等的充要条件，即可求出未知量，从而得到复数z的平方根.,知识拓展,复数运算的应用,解析答案,例5 求86i的平方根. 解 设86i的平方根为xyi(x，yR)， 则(xyi)286i， 即(x2y2)2xyi86i，,则86i的平方根为3i或3i.,2.分解因式 由于a2b2(abi)(abi)，则很多在实数集内不能分解的因式在复数集内可分解因式. 例6 分解因式：(1)x22xyy2z2； 解 x22xyy2z2(xy)2z2 (xyzi)(xyzi)； (2)x481. 解 x481(x29)(x29) (x3i)(x3i)(x3)(x3).,解析答案,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.若复数z满足zi33i，则z_. 解析 据题意，得z3i(i3)62i.,62i,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_.,解析 z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，,1,1,2,3,4,5,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,虚部为1.,1,解析答案,1,2,3,4,5,110ii92i.,课堂小结,返回,1.做复数的除法，通常先将除法转化为复数的分式形式，然后将分式的分母实数化. 2.复数zabi与其共轭复数有如下常用的性质：,
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