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3.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）,高二数学 选修2-3 第三章 统计案例,比数学3中“回归”增加的内容,数学统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 ybxa 用回归直线方程解决应用问题,选修2-3统计案例 引入线性回归模型 ybxae 了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果,复习回顾,2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为残差。,3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为： 称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。,4、两个指标： （1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为 的估计量， 越小，预报精度越高。,（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其 计算公式是：,R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差。,表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。,5、残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,残差图的制作及作用 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域； 3、对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：,求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,解：,例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：,求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,例2 关于x与y有如下数据： 有如下的两个线性模型： （1） ；（2） 试比较哪一个拟合效果更好。,6、注意回归模型的适用范围：,（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。 （2）模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，只有用来对那段时间范围的数据进行预报。 （3）建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多。 （4）在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面已经指出的，某个女大学生的身高为172cm，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为172cm的女大学生的平均体重的预测值。,7、一般地，建立回归模型的基本步骤为：,案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：,（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,画散点图,假设线性回归方程为 ：=bx+a,选 模 型,所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。,探索新知,方案1,当x=28时，y =19.8728-463.73 93,一元线性模型,奇怪？,9366 ? 模型不好？,方案2,问题3,合作探究,t=x2,二次函数模型,方案2解答,平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a,作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2=r20.8962=0.802,将t=x2代入线性回归方程得： y=0.367x2 -202.54 当x=28时，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802， 所以，二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。,产卵数,气温,指数函数模型,方案3,合作探究,对数,方案3解答,当x=28oC 时，y 44 ，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化,由计算器得：z关于x的线性回归方程 为z=0.118x-1.665 ， 相关指数R2=r20.99252=0.985,最好的模型是哪个?,线性模型,二次函数模型,指数函数模型,比一比,最好的模型是哪个?,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响； 模型预报结果的正确理解。,小结,什么是回归分析？ （内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。,若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求： （1）线性回归方程 的回归系数 ； （2）求残差平方和； （3）求相关系数 ； （4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？,解：,（1）由已知数据制成表格。,所以有,
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