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24.1.4圆周角,探索圆周角和圆心角的关系 理解圆周角和圆心角的概念及性质 体会分类归纳等数学方法,教学目标:,一、旧知回放:,答：相等.,2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?,B,3、(05年茂名)下列命题是真命题的是( ) 1)垂直弦的直径平分这条弦 2)相等的圆心角所对的弧相等 3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形 A 1) 2) B 1) 3) C 2) 3) D 1) 2) 3),课前热身,1 判断题： (1)相等的圆心角所对的弧相等 。 (2)等弦对等弧 。 (3)等弧对等弦 。 (4)长度相等的两条弧是等弧 。 (5)平分弦的直径垂直于弦 。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在同圆或等圆中，,相等的圆心角所对的弧相等，,所对的弦相等,复习,所对的弦的弦心距相等,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在同圆或等圆中，,如果两个圆心角、,两条弧、,两条弦,中有一组量相等，,中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,1.圆心角的定义?,答:顶点在圆心的角叫圆心角.,复习,特征：, 角的顶点在圆上., 角的两边都与圆相交.,圆周角定义: 顶点在圆上, 并且两边都和圆相交的角 叫圆周角.,辩一辩 图中的CDE是圆周角吗?,圆周角：_，并且的角_。 圆心角: _ 的角.,顶点在圆上,两边都和圆相交,顶点在圆心,辨别是非,如图所示的角，哪些是圆周角,练习：,1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。,不是,不是,是,不是,不是,图,图,图,图,图,2、指出图中的圆周角。,ACO ACB BCO OAB BAC OAC ABO CBO ABC,有没有圆周角？,有没有圆心角？,它们有什么共同的特点？,它们都对着同一条弧,下列图形中，哪些图形中的圆心角BOC和圆周角A是同对一条弧。,问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有 什么关系？,(1)当圆心在圆周角的一边上时,探究一：,证明:(圆心在圆周角上),结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,C,O,B,A,2.当圆心在圆周角外部时,结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD = AOD,CBD = COD,D,3.当圆心在圆周角内部时,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD = AOD,CBD = COD,结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,结论:,圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。,A,B,C,O,如图，已知在 O 中，BOC =150，求A,2、如图，A是圆O的圆周角，,A=40，求OBC的度数。,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,130,C,C,D,B,3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，COD=500，则CAD=_,25,做做看，收获知多少？,一、判断 1、顶点在圆上的角叫圆周角。 2、圆周角的度数等于所对弧上的圆心角度数的一半。,36或144,2 、如图，已知圆心角AOB=100，求圆周角 ACB=_、ADB=_。,1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是 。,二、计算,130,50,做一做，成功在向你招手！,O,A,C,B,已知：AOB=100，求ACB的度数,3.已知O中弦AB的等于半径,求弦AB所对 的圆心角和圆周角的度数.,圆心角为60,圆周角为30,或150.,1、已知AOB75， 求：ACB= 。,2、已知AOB120， 求： ACB =,3、已知ACD30， 求：AOB =,4、已知AOB110， 求：ACB =,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,3、如图，AB是O的直径，AOD是圆心角， BCD是圆周角， 若BCD=25，则AOD= 。,130,例1.如图：OA、OB、OC都是 O的半径 AOB=2BOC. 求证：ACB=2BAC.,AOB=2BOC,ACB=2BAC,证明：,规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理,ACB= AOB,BAC= BOC,圆周角: ABC, ADC, AEC. 这三个角的大小有什么关系?.,圆周角,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC, ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB 和ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ADB 和AEB ）和同学乙的视角相同吗？,探 究,试找出下图中所有相等的圆周角。,同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。,4、如图，AB是O的直径 = ，A=30，则BOD= 。,5、如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC，ACB与BAC的大小有什么关系？为什么？,60,1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？,推论： 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90(直角).反过来也是成立的,即90的圆周角所对的弦是圆的直径,探究二：,O,A,B,C,2.90的圆周角所对的弦是 否是直径？,画板3,半圆（或直径）所对的圆周角是90； 90的圆周角所对的弦是直径。,如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,例题:如图，AB为O的直径， A=70，求ABC的度数。,A,B,C,O,解： AB为O的直径 C=90，又A=70 B=20 ,AB是O的直径,BCD=300,则ABD=_,300,例 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直径，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,例题,练习,1、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x+100）和（5x30），求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。,2、如图，A是圆O的圆周角， A=40， 求OBC的度数。,1.如图, 内接于O, , , BD是O的直径, BD交AC于点E, 连接DC, 则 （ ）. A. B. C. D.,5.如图AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ABD=40,则BCD=.,40,提示:连接AD,50,2.如图所示,O为 的外接圆, CE是O的直径, 于D, 求证： .,4.如图, 内接于O, , AB=AC, BD为O的直径, AD=6, 则BC= .,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,C,C,D,B,3.半圆（或直径）所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是_。,3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）,A,B,C,O,求证： ABC 为直角三角形.,证明：,CO= AB,以AB为直径作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,点C在O上.,又AB为直径,ACB= 180= 90., ABC 为直角三角形.,课本 练 习,3.半径为1的圆中有一条弦, 如果它的长为 , 那么这条弦所对的圆周角的度数等于_.,5.如图所示, 是O的内接三角形, 点C是优弧AB上的一点（点C不与A、B重合）, 设 猜想 之间的关系, 并给予证明.,如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,3、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。,6.如图所示, BC为O的直径, G是半圆上任意一点, 点A为 的中点, 求证：BE=AE=EF.,5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,练 习,2.如图所示,O为 的外接圆, CE是O的直径, 于D, 求证： .,4、AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果ADB=35，求BOC的度数。,解AB=AC ABD=ADB=35 BAC=ABD+ADB=70BOC=2BAC=140,圆的内接四边形,1、如图，ABC叫O的_三角形 ， O叫ABC的 _ 圆. 2、 如图1，若弧BC的度数为1000， 则BOC=_，A=_ _.,复习回顾,内接,外接,100,50,如图，四边形ABCD为圆内接四边形；O为四边形ABCD外接圆.,问题1,6、如图，A、B、C、D是O上的四个点，且BCD=100，求BOD（ 所对的圆心角）和BAD的大小。,如图,AB是直径,则ACB=,若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。,O,A,C,D,E,B,问题2,返回,C,O,D,B,A,如图：圆内接四边形ABCD中，, A的度数等于弧BCD的一半，BCD的度数等于弧BAD的一半， 又弧BCD+弧BAD 度数为360，,AC,180.,同理BD180.,圆内接四边形的对角互补。,问题3,如果延长BC到E，那么DCEBCD ,180.,ADCE.,又 A BCD 180，,因为A是与DCE相邻的 内角DCB的对角，我们把 A叫做DCE的内对角。,圆内接四边形的一个 外角等于它的内对角。,ADCE,探索结论,先根据图形讨论，然后用语言归纳为 :,圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角 都等于它的内对角。,几何表达式： 四边形ABCD内接于O， A+C=180且B=1 .,性质定理：,1、如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD=100， 则BAD= BCD=,反馈练习：,A,B,C,D,O,2、圆内接四边形ABCD中,A:B:C= 2:3:4,则A= B= C= D=,50,130,60,90,120,90,3、如图，四边形ABCD内接于O， DCE=75， 则BOD=,150,A,B,C,D,O,E,应用举例,例 如图O1与O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1 交于点C，与O2 交于点D。经过点B的直线EF与O1 交于点E，与O2 交于点F。 求证：CEDF,CEDF,EF180,E1180、1F,连结AB,1,思路分析,证明：连结AB,例1： 如图4，O1和O2都经过A、B两点， 经过点A的直线CD 与O1相交于点C，与O2相交于点D，经过点B的直线EF与O1 相交于点E，与O2相交于点F。 求证：CEDF,ABEC是O1的内接四边形 1+E =1800,又ADFB是O2的内接四边形 1=F.,E+F=1800,CEDF,1,反思与拓展,证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明了CE DF，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相等证明结果？,1）延长EF,是否有E=BAD 1 ？,2) 延长DF, 能否证明E3？,变式1：如图，O1和O2都经过A、B两点，过A点的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，过B点的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F。,E,D,C,F,A,B,猜想：CEDF仍然成立吗？,O1,O2,变式2:如图,O1和O2有两个公共点AB，过AB两点的直线分别交O1于C 、E,交O2于D 、F，且 CDEF。,C,E,A,B,D,F,O1,O2,求证：CE=DF,思维拓展:,1、圆内接平行四边形一定是 形。,2、圆内接梯形一定是 形。,3、圆内接菱形一定是 形。,矩,等腰梯,正方,弧、弦与圆心角的 关系定理：,1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等,2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等， 所对的弦也相等。,3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等,弧、弦与圆周角的关系定理：,1、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等,2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等， 所对的弦也相等。,3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补！,圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,
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