资源描述
第二节 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题,【知识梳理】 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域,边界直线,公共部分,2.线性规划中的有关概念,不等式(组),不等式(组),解析式,一次,可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法. (1)直线定界,不等式含等号,直线在区域内,不含等号,直线不在区域内.,(2)特殊点定域,在直线上方(下方)取一点,代入不等式成立,则区域就为上方(下方),否则就是下方(上方).特别地,当C0时,常把原点作为测试点;当C=0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.,【特别提醒】 1.判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论 把Ax+By+C0或Ax+By+Ckx+b或ykx+b则区域为直线Ax+By+C=0上方. (2)若ykx+b则区域为直线Ax+By+C=0下方.,2.最优解与可行解的关系 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优解不一定唯一.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修5P86练习T3改编)不等式组 表示的平面区域是 ( ),【解析】选C.x-3y+60表示直线x-3y+6=0左上方部分,x-y+20表示直线x-y+2=0及其右下方部分. 故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分.,2.(必修5P93习题3.3A组T2改编)已知x,y满足 则z=-3x+y的最小值为 .,【解析】由题意画出平面区域如图:,当直线z=-3x+y经过点A时,z取得最小值. 由 可得 即点A(1,3). 所以zmin=-3x+y=-31+3=0. 答案:0,感悟考题 试一试 3.(2015安徽高考)已知x,y满足约束条件 则z=-2x+y的最大值是 ( ) A.-1 B.-2 C.-5 D.1,【解题提示】正确画出平面区域的可行域,是一个三角形,再数形结合计算求值.,【解析】选A.根据题意画出约束条件确定的可行域, 如图所示: 因为z=-2x+y,则y=2x+z,可知过图中点A(1,1)时, z=-2x+y取得最大值-1,故选A.,4.(2015广东高考)若变量x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最小值为 ( ),【解析】选C.不等式组所表示的可行域如图所示,由z=3x+2y得y= 依题当目标函数直线l: y= 经过A 时,z取得最小值, 即zmin=31+2,5.(2015全国卷)若x,y满足约束条件 则z=3x+y的最大值为 .,【解析】画出可行域如图所示,目标函数y=-3x+z,当z取到最大值时,y=-3x+z的纵截 距最大,即将直线移到点C时, 解得C(1,1),zmax=31+1=4. 答案:4,考向一 平面区域的面积问题 【典例1】(1)(2016北京模拟)在平面 直角坐标系xOy中,不等式组 表示图形的面积等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2016郑州模拟)已知不等式组 表示 的平面区域为D,若直线y=kx+1将区域D分成面积相等的 两部分,则实数k的值是 .,【解题导引】(1)画出不等式组所表示的平面区域,根据图形便可计算面积. (2)画出不等式组表示的平面区域,直线y=kx+1过定点(0,1),利用面积相等确定直线经过的区域边界上的点,然后代入求k值.,【规范解答】(1)选B.不等式组对应的平面区域如图, 对应的区域为正方形ABCD, 其中A(0,1),D(1,0), 边长AD= , 则正方形的面积S= =2, 故选B.,(2)区域D如图中的阴影部分所示,直线y=kx+1经过定点C(0,1),如果其把区域D划分为面积相等的两个部分,则直线y=kx+1只要经过AB的中点即可. 由方程组 解得A(1,0). 由方程组 解得B(2,3).,所以AB的中点坐标为 代入直线方程y=kx+1得， 解得 答案：,【规律方法】求平面区域面积的方法 (1)利用一般方法求解: 画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,再作出平面区域;,对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可.,(2)利用几何意义求解: 利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.,【变式训练】(2014安徽高考)不等式组 表示的平面区域的面积为 .,【解析】如图所示,可得点A(0,2),B(2,0),C(8,-2), 根据图形计算可得SABC= 22+ 22=4. 答案:4,【加固训练】 1.不等式组 所表示的平面区域的面积等 于( ),【解析】选C.平面区域如图所示. 解 得A(1,1), 易得B(0,4),C |BC|= 所以SABC=,2.(2016汕头模拟)已知约束条件 表示面 积为1的直角三角形区域,则实数k的值为 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.-2,【解析】选A.先作出不等式组 对应的平面区域,如图: 要使阴影部分为直角三角形,当k=0时,此三角形的面积为 33= 1, 所以不成立, 所以k0,则必有BCAB, 因为x+y-4=0的斜率为-1, 所以直线kx-y=0的斜率为1,即k=1, 故选A.,3.设动点P(x,y)在区域: 上,过点P任作直线 l,设直线l与区域的公共部分为线段AB,则以AB为直径 的圆的面积的最大值为 ( ) A. B.2 C.3 D.4,【解析】选D.作出不等式组所表示的可行域如图中阴 影部分所示,则根据图形可知,以AB为直径的圆的面积 的最大值S= =4.,4.求不等式组 所表示的平面区域的面积. 【解析】如图,平面区域为直角梯形, 易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5), 所以AD=3,AB=2,BC=5.故所求区域的 面积为S= (3+5)2=8.,考向二 线性规划相关问题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:求目标函数的最值 【典例2】(1)(2015全国卷)若x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 . (本题源自人A必修5P91练习T1),(2)(2015全国卷)若x,y满足约束条件 则 的最大值为 .,【解题导引】(1)此题为截距型,根据约束条件画出可 行域,在三角区域的顶点处取得最值. (2)此题为斜率型,作出可行域,由斜率的意义知, 是 可行域内一点与原点连线的斜率,数形结合可求最值.,【规范解答】(1)画出可行域如图所示. 目标函数y=-2x+z,当z取到最大值 时,y=-2x+z的纵截距最大,故将直 线移到点B(3,2)时,zmax=23+2=8. 答案:8,(2)作出可行域如图中阴影部分所示,由 斜率的意义知, 是可行域内一点与原 点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原 点连线的斜率最大,故 的最大值为3. 答案:3,【母题变式】1.本例题(1)条件不变,求z=2x+y的最小值. 【解析】由例题解析知,当将直线移到点A时,取得最小值.A点是直线2x-y-1=0和x-2y+1=0的交点,所以A点坐标为(1,1),所以z的最小值为zmin=21+1=3.,2.本例题(1)条件变为 求z=2x+y的最大值. 【解析】作图易知可行域为一个三角形,当直线z=2x+y 过点A(2,-1)时,z取最大值,最大值是3.,命题方向2:求参数的值或范围 【典例3】(1)(2015福建高考)变量x,y满足约束条件 若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2,(2)(2014安徽高考)x,y满足约束条件 若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值 为 ( ) A. 或-1 B.2或 C.2或1 D.2或-1,【解题导引】(1)将目标函数变形为y=2x-z,结合题意,对m分类讨论,画出可行域,结合图象,可找出最优解,进而求出m的值. (2)作出可行域,分析题干可知线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合,进而可求解.,【规范解答】(1)选C.如图所示,当 m0时,比如在的位置,此时为开 放区域无最大值,当m2时,比如在 的位置,此时在原点取得最大值 不满足题意,当0m2时,在点A取得最大值,所以 代入得m=1.,(2)选D.由线性约束条件可得其图象如图所示,由图象可知直线z=y-ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一,此时a=2或-1.,【技法感悟】 线性规划两类问题的解决方法 (1)求目标函数的最值:画出可行域后,要根据目标函数 的几何意义求解,常见的目标函数有:截距型:形如 z=ax+by;距离型:形如 斜率型: 形如,(2)求参数的值或范围:参数的位置可能在目标函数中,也可能在约束条件中.求解步骤为:注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来;在符合题意的可行域里,寻求最优解.,【题组通关】 1.(2015福建高考)若变量x,y满足约束条件 则z=2x-y的最小值等于 ( ),【解析】选A.画出可行域如图所示,当目标函数平移至 B点时截距最大,所以 把点B坐 标代入目标函数可得zmin=2(-1)-,2.(2014全国卷)设x,y满足约束条件 且z=x+ay的最小值为7,则a= ( ) A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3,【解析】选B.方法一:画出不等式组对应的平面区域,如图所示.,联立 解得 所以 当a=0时A为 z=x+ay的最小值为- ,不满足题意; 当a0时,由z=x+ay得y= 要使z最小,则直线y= 在y轴上的截距最大,此时最优解不存在;,当a0时,当直线过点A时截距最小,z最小,此时z= =7,解得a=-5(舍去)或a=3. 方法二:先画出可行域,然后根据图形结合选项求解.当a=-5时,作出不等式组表示的可行域,如图1(阴影部分),由 得交点A(-3,-2), 则目标函数z=x-5y过A点时取得最大值. zmax=-3-5(-2)=7,不满足题意,排除A,C选项.,当a=3时,作出不等式组表示的可行域,如图2(阴影部分) 由 得交点B(1,2),则目标函数z=x+3y过B点时 取得最小值.zmin=1+32=7, 满足题意.,3.(2014浙江高考)当实数x,y,满足 时,1ax+y4恒成立,则实数a的取值范围是 . 【解析】作出不等式组 所表示的区域, 由1ax+y4,由图可知,a0且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)点取得最大 值，所以a1,2a+14，故a的取值范围为 答案：,考向三 线性规划实际应用 【典例4】(1)(2015陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为 ( ),A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元,(2)(2016芜湖模拟)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.,用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y,表示每天的利润W(元); 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?,【解题导引】(1)把企业的生产实际抽象为不等式组,表示出目标函数,画出可行域,根据可行域可找出最优解. (2)把公司生产的约束条件“翻译”成不等式组,画出可行域,可求目标函数最值.,【规范解答】(1)选D.设每天生产甲、乙两种产品 分别为x吨,y吨,利润为z万元,则 目标函数为z=3x+4y. 作出二元一次不等式组所表示的 平面区域(阴影部分)即可行域.,由z=3x+4y得 平移直线 由图象可知当直线 经过点A时，直线 在y轴上的截距最大， 此时z最大，,解方程组 即A的坐标为(2,3), 所以zmax=3x+4y=6+12=18. 即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元.,(2)依题意,每天生产的伞兵个数为100-x-y,所以利润W=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. 约束条件为 整理,得,目标函数为W=2x+3y+300, 如图所示,作出可行域. 初始直线l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,W有最大值, 最优解为A(50,50), 所以Wmax=250+350+300=550(元). 答:每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,为550元.,【易错警示】解答本例题(2)容易出现以下错误: (1)弄不清约束条件,列不等式组时写错不等号的方向. (2)忽略总生产时间不超过10小时的条件,或用不等式表示不准确.,【规律方法】利用线性规划解决实际问题的一般步骤 (1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系. (2)设元:设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的不等式组和目标函数.,(3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解). (4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值). (5)检验:根据结果,检验反馈.,【变式训练】(2016南安模拟)某电视机厂计划在下 一个生产周期内生产两种型号电视机,每台A型或B型电 视机所得利润分别为6和4个单位,而生产一台A型或B型 电视机所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4 和2个单位,如果允许使用的原料为100个单位,工时为 120个单位,且A或B型电视机产量分别不低于5台和10台, 应当生产每种类型电视机多少台,才能使利润最大?,【解析】设生产A型电视机x台,B型电视机y台,则根据已知条件知线性约束条件为,线性目标函数为z=6x+4y. 根据约束条件作出可行域如图中阴 影部分整点所示,作直线l0:3x+2y=0, 当直线l0平移至过点A时,z取最大值,解方程组 所以生产两种类型电视机各20台,所获利润最大.,【加固训练】 1.某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅 行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别 为1600元/辆和2400元辆,旅行社要求租车总数不超 过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元,【解析】选C.设旅行社租用A型 客车x辆,B型客车y辆,租金为z, 则线性约束条件为 目标函数为z=1600x+2400y.画出可行域:图中阴影部分 所示,可知目标函数过点N(5,12)时,有最小值zmin= 36800(元).,2.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表,为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成 本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 ( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50,【解析】选B.设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x,y亩, 则总利润z=40.55x+60.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y. 此时x,y满足条件 画出可行域如图,得最优解为 A(30,20).,3.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1 桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元, 每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的 计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合,理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 ( ) A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元 D.3 100元,【解析】选C.设某公司生产甲产品x桶,生产乙产品y桶, 获利为z元,则x,y满足的线性约束条件为 目标函数z=300x+400y.,作出可行域,如图中四边形OABC的边界及其内部整点. 作直线l0:3x+4y=0,平移直线l0经可行域内点B时,z取最 大值,由 得B(4,4),满足题意,所以zmax =4300+4400=2800(元).,4.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单 位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质 和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳 水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另 外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水,化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元.那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?,【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元, 则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足,作出可行域如图,利用平移法可知z的最小值一定在A,B,C,D四点处的某一点处取得. z在可行域的四个顶点A(9,0), B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值 分别是,zA=2.59+40=22.5, zB=2.54+43=22, zC=2.52+45=25, zD=2.50+48=32. 比较之,zB最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.,【一题多解】本题还可以使用以下解法: 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和 y个单位,所花的费用为z元,z=2.5x+4y,且x,y满足,让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移, 由此可知z=2.5x+4y在(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.,
展开阅读全文