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专题二 求解平衡问题的六种方法 1.合成、分解法 利用力的合成与分解解决三力平衡的问题,具体求解时有两种思路:一 是将某力沿另两个力的反方向进行分解,将三力转化为四力,构成两对 平衡力;二是将某二力进行合成,将三力转化为二力,构成一对平衡力。,例1 如图所示,两滑块放在光滑的水平面上,中间用一细线相连,轻杆OA、OB放在滑块上,且可绕铰链O自由转动,两杆长度相等,夹角为,当竖直向下的力F作用在铰链上时,滑块间细线的张力为多大?,解析 F产生的作用效果是压OA杆和OB杆,所以把竖直向下的力F沿OA 杆、OB杆方向分解,如图甲所示,可求出作用于滑块上斜向下的力为:F1=F2 = 。,斜向下的压力F1将产生两个效果:竖直向下压滑块的力F1和沿水平方向 推滑块的力F1,因此,将F1沿竖直方向和水平方向分解,如图乙所示,考虑到,滑块不受摩擦力,且处于平衡状态,则知细线上的张力FT等于F1在水平方向 上的分力F1,即 FT=F1=F1 sin 解得:FT= tan 答案 tan,2.图解法 在共点力的平衡中,有些题目中常有“缓慢”一词,则物体处于动态平衡状 态。解决动态平衡类问题常用图解法,图解法就是在对物体进行受力分析 (一般受三个力)的基础上,若满足有一个力大小、方向均不变,另有一个力 方向不变时,第三个力大小、方向均改变,可画出这三个力的封闭矢量三角 形来分析力的变化情况的方法,图解法也常用于求极值问题。,例2 如图所示,一小球在斜面上处于静止状态,不考虑一切摩擦,如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置,则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是 ( ) A.F1先增大后减小,F2一直减小 B.F1先减小后增大,F2一直减小 C.F1和F2都一直减小 D.F1和F2都一直增大,解析 小球受力如图甲所示,因挡板缓慢转动,所以小球处于动态平衡状 态,在挡板转动过程中,小球所受三力(重力G、斜面的支持力FN、挡板的弹 力F)组合成的矢量三角形的变化情况如图乙所示(重力大小方向均不变,斜 面对其支持力方向始终不变),由图可知此过程中斜面对小球的支持力不断 减小,挡板对小球的弹力先减小后增大,再由牛顿第三定律知B对。,答案 B,3.正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时,常用正交分解法列平衡方程求解:Fx 合=0,Fy合=0。为方便计算,建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为 原则。 例3 如图所示,用与水平面成角的推力F作用在物块上,随着逐渐减小直 到水平的过程中,物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外 力,下列判断正确的是 ( ),A.推力F先增大后减小 B.推力F一直减小 C.物块受到的摩擦力先减小后增大 D.物块受到的摩擦力一直不变,解析 对物块受力分析,建立如图所示的坐标系。,由平衡条件得F cos -Ff=0 FN-(mg+F sin )=0 又Ff=FN 联立可得F= ,Ff=(mg+F sin ),可见,当减小时,F、Ff均一直减 小,故选项B正确。 答案 B,4.整体法和隔离法 选择研究对象是解决物理问题的首要环节。若一个系统中涉及两个或者 两个以上物体的平衡问题,在选取研究对象时,要灵活运用整体法和隔离 法。对于多物体问题,如果不求物体间的相互作用力,我们优先采用整体 法,这样涉及的研究对象少,未知量少,方程少,求解简便;很多情况下,通常采 用整体法和隔离法相结合的方法。 例4 如图所示,放置在水平地面上的质量为M的直角劈上有一个质量为m 的物体,若物体在直角劈上匀速下滑,直角劈仍保持静止,那么下列说法正 确的是 ( ),A.直角劈对地面的压力等于(M+m)g B.直角劈对地面的压力大于(M+m)g C.地面对直角劈没有摩擦力 D.地面对直角劈有向左的摩擦力,对直角劈进行受力分析,建立坐标系如图乙所示,由牛顿第三定律得FN=FN, Ff=Ff,在水平方向上,压力FN的水平分量FN sin =mg cos sin ,摩擦力Ff的 水平分量Ff cos =mg sin cos ,可见Ff cos =FN sin ,则直角劈相对地面 没有运动趋势,所以地面对直角劈没有摩擦力。,解析 解法一 隔离法 对物体进行受力分析,建立坐标系如图甲所示,因物体沿斜面匀速下滑,由 平衡条件得:支持力FN=mg cos ,摩擦力Ff=mg sin 。,在竖直方向上,直角劈受力平衡,由平衡条件得:FN地=Ff sin +FN cos +Mg= mg+Mg。 解法二 整体法 以整体为研究对象,整体在竖直方向上受到重力和支持力,因物体在斜面上 匀速下滑、直角劈静止不动,即整体处于平衡状态,所以竖直方向上地面对 直角劈的支持力等于物体和直角劈整体的重力;水平方向上地面若对直角 劈有摩擦力,无论摩擦力的方向向左还是向右,水平方向上整体都不能处于 平衡状态,所以整体在水平方向上不受摩擦力,整体受力如图丙所示。 答案 AC,5.临界问题的常用处理方法假设法 运用假设法解题的基本步骤是: (1)明确研究对象;(2)画受力图; (3)假设可发生的临界现象;(4)列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。 例5 倾角为=37的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重为G的物体A, 物体A与斜面间的动摩擦因数=0.5。现给A施以一水平力F,如图所示。设 最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37=0.6,cos 37=0.8),如果物体A能在 斜面上静止,水平推力F与G的比值可能是 ( ),A.3 B.2 C.1 D.0.5,解析 设物体刚好不下滑时F=F1, 则F1cos +FN=Gsin , FN=F1sin +Gcos 得: = = = ; 设物体刚好不上滑时F=F2,则:,F2cos =FN+Gsin , FN=F2sin +Gcos , 得: = = =2, 即 2,故选B、C、D 答案 BCD,6.相似三角形法 物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态,画出其中任意两个力的合力 与第三个力等值反向的平行四边形中,可能有力三角形与题图中的几何三 角形相似,进而得到力三角形与几何三角形对应边成比例,根据比值便可计 算出未知力的大小与方向。 例6 如图所示,一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上, 一个劲度系数为k,自然长度为L(L2R)的轻质弹簧,一端与小球相连,另一端 固定在圆环的最高点,求小球处于静止状态时,弹簧与竖直方向的夹角。,由力三角形与几何三角形相似有, = 又F=k(AB-L) 联立可得AB=,解析 对小球B受力分析如图所示,在AOB中,cos = = = = 则=arccos 答案 arccos,
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