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第3讲 运动图像、追及相遇问题,知识梳理 一、运动图像 1.x-t图像和v-t图像的比较,2.a-t图像 (1)图像的意义 (a)物理意义:反映加速度随时间的变化规律。 (b)图线斜率的意义:加速度随时间的变化率。 (c)图线与时间轴围成的“面积”的意义:反映对应时间内的 速度 变化 。 (2)匀变速直线运动的a-t图像是 一条与时间轴平行的直线 。,1.追及问题的两种类型 (1)落后者能追上前者两者速度相等时,相距最远,追上时,两者处于 同一 位置,且后者速度一定不小于前者速度。 (2)落后者追不上前者,则当两者速度 相等 时,两者相距最近。,二、追及相遇问题,2.相遇问题 相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和 等于 开始时两物体 间距离时即相遇。,1.某质点做直线运动的位移x和时间t的关系如图所示,那么该质点在 3 s 内通过的路程是 ( ) A.3 m B.2 m C.1 m D.0.5 m,C,答案 C 由图像可知,在01 s内质点静止在位移为1 m的地方;12 s内 质点从位移为1 m的地方匀速运动到位移为2 m的地方;在23 s 内质点 静止在位移为2 m的地方,因而质点在3 s内的位移即在12 s内通过的位 移,应为1 m。,2.(多选)某物体运动的v-t图像如图所示,则下列说法正确的是 ( ) A.物体在第1 s末运动方向发生改变 B.物体在第2 s内、第3 s内的加速度是相同的 C.物体在第4 s末返回出发点 D.物体在第5 s末离出发点最远,且最大位移为0.5 m,BC,答案 BC 物体在第1 s内做匀加速运动,第2 s内做匀减速运动,第3 s内 做反向的匀加速运动,第4 s内做反向的匀减速运动物体在第 2 s 末、第4 s末速度方向发生改变,在第2 s 内和第3 s内的加速度相同均为 a=-1 m/s2,在第4 s末物体返回出发点且速度为零。物体在第2 s末、第6 s末离出发点最远,且最大位移为1 m。,3.一物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间的变化规律如图所示, 取开始运动的方向为正方向,则物体运动的v-t图像正确的是 ( ),C,答案 C 本题考查加速度在v-t图像中的表示。在01 s内,a=1 m/s2,物 体从静止开始做正向匀加速运动,速度图线是一条倾斜直线,1 s末速度v 1=at=1 m/s,在1 2 s内,a2=-1 m/s2,物体将仍沿正方向运动,但加速度为负 要减速,2 s末时速度v2=v1+a2t=0,23 s内重复01 s内运动情况,3 4 s内重 复1 2 s 内运动情况,故选C项。,4.甲、乙两车在平直公路上比赛,某一时刻,乙车在甲车前方L1=11 m处, 乙车速度v乙=60 m/s,甲车速度 v甲=50 m/s,此时乙车离终点线尚有L2=600 m,如图所示,若甲车加速运动,加速度a=2 m/s2,乙车速度不变,不计车 长。求: (1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大,最大距离是多少? (2)到达终点线时甲车能否超过乙车?,答案 (1)5 s 36 m (2)不能,解析 (1)当甲、乙两车速度相等时,两车间距离最大,则 v甲+at1=v乙 得t1= = s=5 s 甲车位移x甲=v甲t1+ a =275 m 乙车位移x乙=v乙t1=605 m=300 m 此时两车间距离x=x乙+L1-x甲=36 m (2)甲车追上乙车时,位移关系 x甲=x乙+L1 甲车位移x甲=v甲t2+ a 乙车位移x乙=v乙t2 将x甲、x乙代入位移关系式得v甲t2+ a =v乙t2+L1,代入数值并整理得 -10t2-11=0, 解得t2=-1 s(舍去)或t2=11 s 此时乙车位移x乙=v乙t2=660 m, 因x乙L2,故乙车已冲过终点线,即到达终点线时甲车不能追上乙车。,深化拓展,考点一 运动图像的分析与运用,考点二 追及相遇问题,深化拓展 考点一 运动图像的分析与运用 1.运动图像主要有x-t图像和v-t图像,运用运动图像解题可总结为六看: 一看“轴”,二看“线”,三看“斜率”,四看“面积”,五看“截距”,六 看“特殊点”。,2.图像既反映出运动规律和运动特征,也是提供信息和解决问题的重要手段。在许多问题中若能运用图像进行分析,对解决问题会起到事 半功倍的效果。,1-1 (多选)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的 位置-时间(x-t)图线。由图可知( ) A.在时刻t1,a车追上b车 B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反 C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加 D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车的大,BC,答案 BC 在位置-时间图像中,图线斜率的绝对值表示速度大小,斜率 的正负表示速度的方向,两图线的交点表示同一时刻处于同一位置即追 及或相遇。由图可知,t1时刻前b的斜率大于a的斜率,b车速度大于a车的 速度,b车处于a车的后方,故t1时刻应是b车追上a车,A错误;t2时刻,b图线 斜率小于零,即b沿负向运动,而a图线斜率始终大于零,即a车一直沿正向运动,因此两车速度方向相反,故B正确;由t1t2时间内b图线斜率的绝对值可 知C正确;在b图线的顶点处切线水平、斜率为零,即此时b车瞬时速度为 零,可见D错误。,1-2 (2018北京朝阳期中)如图为一个物体做直线运动的v-t图像。关于 物体的运动,下列说法中错误的是 ( ) A.01 s内和23 s内的运动方向相同 B.23 s内和34 s内的加速度相同 C.02 s内和04 s内的位移相同 D.01 s内和23 s内的速度变化量相同,D,答案 D v-t图线上各点纵坐标的正、负代表物体运动方向,故A项正 确;v-t图线的斜率代表加速度,故B项正确;v-t图线跟横轴所围的面积表 示物体的位移,02 s内的位移为(1+2)1 m=1.5 m,04 s内的位移为(1 +3)1 m-11 m=1.5 m,故C项正确;01 s内和23 s内速度变化量 分别为v1=1 m/s-0=1 m/s和v2=0-1 m/s=-1 m/s,它们的方向相反,故D项 错误,故D符合题意。,1-3 甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标,以后甲车 一直做匀速直线运动,乙车先加速后减速,丙车先减速后加速,它们经过 下一路标时的速度又相同,则 ( ) A.甲车先通过下一个路标 B.乙车先通过下一个路标 C.丙车先通过下一个路标 D.三车同时到达下一个路标,答案 B 根据题意,甲、乙、丙三车的初、末速度均相同,通过的位移 也相同,这在速度-时间图像上表现为v-t图线与时间轴包围的面积相等, 它们的v-t图像大致如图所示,由图像易知B选项正确。,B,考点二 追及相遇问题 一、追及相遇问题的分析要点 1.分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”。 (1)一个临界条件速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距 离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点 (2)两个等量关系:时间关系和位移关系,通过画草图找出两物体的位移 关系是解题的突破口。,2.能否追上的判断方法 物体B追赶物体A:开始时,两个物体相距x0,若vA=vB时,xA+x0xB,则不能追上。,3.若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断追上前该物体是 否已经停止运动。,2-1 汽车A在红灯前停住,绿灯亮时启动,以0.4 m/s2的加速度做匀加速 运动,经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动。设在绿灯亮的同时, 汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过,且一直以相同的速度做匀速直线 运动,运动方向与A车相同,则从绿灯亮时开始 ( ) A.A车在加速过程中与B车相遇 B.A、B相遇时速度相同 C.相遇时A车做匀速运动 D.两车不可能相遇,C,答案 C 作出A、B两车运动的v-t图像如图所示。,v-t图线与时间轴所包围的“面积”表示位移,经过30 s时,B车的v-t图线 与时间轴所围面积比A车的大,所以在A车加速运动的过程中,两车并未 相遇,所以选项A错误;30 s后A车以 12 m/s 的速度做匀速直线运动,随着 图线与时间轴所围“面积”越来越大,可以判断在30 s后某时刻两车图 线与时间轴所围面积会相等,即两车会相遇,此时A车的速度要大于B车 的速度,所以两车不可能再次相遇,选项C正确,选项B、D错误。,2-2 甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以 4 m/s 的速 度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以0.5 m/s2 的加速度刹车,从甲车刹车开始计时,求: (1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离; (2)乙车追上甲车所用的时间。,答案 (1)36 m (2)25 s,解析 (1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大,设该减速 过程经过的时间为t,则 v乙=v甲-at 解得:t=12 s 此时甲、乙间距离为x=v甲t- at2-v乙t=1012 m- 0.5122 m-412 m=3 6 m。 (2)设甲车减速到零所需时间为t1,则有: t1= =20 s t1时间内,x甲= t1= 20 m=100 m x乙=v乙t1=420 m=80 m,此后乙车运动时间t2= = s=5 s 故乙车追上甲车所用时间:t=t1+t2=25 s。,二、分析追及相遇问题的常用方法,1.物理分析法:抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真 审题,挖掘题中的隐含条件,在头脑中建立起一幅物体运动的图景。,2.相对运动法:巧妙地选取参考系,然后找出两物体的运动关系。,3.数学分析法:设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方 程,用判别式进行讨论,若0,即有两个解,说明可以相遇两次;若=0,说 明刚好追上或相遇;若0,说明追不上或不能相遇。,4.图像分析法:将两者的速度-时间图像在同一坐标系中画出,然后利用 图像分析求解。,2-3 在水平轨道上有两列火车A和B相距s,A车在后面做初速度为v0、 加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度 大小为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A 车的初速度v0满足什么条件。,答案 v0,解析 方法一:(物理分析法)A、B车的运动过程(如图甲) 甲 利用位移公式、速度公式求解 对A车有sA=v0t+ (-2a)t2 vA=v0+(-2a)t 对B车有sB= at2,vB=at 两车有s=sA-sB,追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB 联立以上各式解得v0= 故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0 。 方法二:(数学分析法)利用判别式求解,由方法一可知 sA=s+sB,即v0t+ (-2a)t2=s+ at2,整理得3at2-2v0t+2s=0,这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式=(2v0)2-43a2s0 时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满 足的条件是 v0 。,乙,方法三:(图像分析法)利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时 间图像,其图像如图乙所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有vA= v=v0-2at 对B车有vB=v=at,以上两式联立解得t= 经t时间两车发生的位移之差,即原来两车间的距离s,它可用图中的阴影 面积表示,由图像可知 s= v0t= v0 = 所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0 。 方法四:(相对运动法)巧选参考系求解。以B车为参考系,A车的初速度 为v0,加速度为a=-2a-a=-3a。A车刚好追上B车的条件是:vt=0,这一过程A 车相对于B车的位移为s,由运动学公式 - =2as得: 02- =2(-3a)s 所以v0= 。,即要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0 。,
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