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选修3-4 第一章 机械振动 机械波 第1讲 机 械 振 动,知识点1 简谐运动 【思维激活1】弹簧振子以O点为平衡位置 在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距 20cm。某时刻振子处于B点,经过0.5 s, 振子首次到达C点。下列说法中正确的是( ) A.该弹簧振子的振幅为20 cm B.该弹簧振子的周期为1 s C.该弹簧振子的频率为2 Hz D.振子从O点出发到再次回到O点的过程就是一次全振动,【解析】选B。设振幅为A，由题意BC=2A=20 cm，所以A=10 cm， A错；振子从B到C所用时间 所以T=1.0 s，频率 =1.0 Hz，B对，C错；振子从O点出发到再次回到O点的过程是 0.5次全振动，D错。,【知识梳理】 1.简谐运动的概念：质点的位移与时间的关系遵从_ 的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条_。 2.平衡位置：物体在振动过程中_为零的位置。 3.回复力： (1)定义：使物体返回到_的力。 (2)方向：总是指向_。 (3)来源：属于_力,可以是某一个力,也可以是几个力的合 力或某个力的分力。,正弦函数,正弦曲线,回复力,平衡位置,平衡位置,效果,4.描述简谐运动的物理量：,平衡位置,所在位置,平衡位置,最大距离,强弱,全振动,快慢,单位时间,知识点2 简谐运动的公式和图像 【思维激活2】一个在y方向上做简谐运动的 物体,其振动图像如图所示。下列关于图(1) (4)的判断正确的是(选项中v、F、a分别 表示物体的速度、受到的回复力和加速度)( ),A.图(1)可作为该物体的v-t图像 B.图(2)可作为该物体的F-t图像 C.图(3)可作为该物体的F-t图像 D.图(4)可作为该物体的a-t图像 【解析】选C。因为F=-kx, 故图(3)可作为F-t、a-t图像；而v随x增大而减小，故v-t图像应为图(2)。,【知识梳理】 1.表达式： (1)动力学表达式：F=_,其中“-”表示回复力与位移的方 向相反。 (2)运动学表达式：x=_,其中A代表振幅,=2f 表示简谐运动的快慢,(t+)代表简谐运动的相位,叫作 _。,-kx,Asin(t+),初相,2.图像： (1)从_开始计时,函数表达式为x=Asint,图像如图甲所示。 (2)从_开始计时,函数表达式为x=Acost,图像如图乙所示。,平衡位置,最大位移处,知识点3 单摆、周期公式 【思维激活3】(多选)将一单摆向左拉 至水平标志线上,由静止释放,当摆球 运动到最低点时,摆线碰到障碍物,摆 球继续向右摆动。用频闪照相机拍到 如图所示的单摆运动过程的频闪照片,若闪光的时间间隔为t,以下说法正确的是( ) A.该单摆的周期为15t B.该单摆的周期为30t C.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为94 D.摆线碰到障碍物前后的摆长之比为32,【解析】选B、C。从图像可以看出，摆球在平衡位置左侧的运 动时间为9t，在平衡位置右侧的运动时间为6t，所以该单 摆的周期为30t，B正确，A错误；根据 可计算出摆 线碰到障碍物前后的摆长之比为94，C正确，D错误。,【知识梳理】 简谐运动的两种模型：,阻力,很小,弹力,重力,原长,最低,振幅,机械能,机械能,知识点4 受迫振动和共振 【思维激活4】(多选)如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线,表示振幅A与驱动力的频率f的关系。下列说法正确的是( ),A.摆长约为10 cm B.摆长约为1 m C.若增大摆长,共振曲线的“峰”将向右移动 D.若增大摆长,共振曲线的“峰”将向左移动 【解析】选B、D。根据图像可看出单摆的固有频率为0.5Hz,即周期为2s。根据周期公式很容易算出摆长约为1m,故A错误,B正确。若增大摆长,单摆周期将变长,固有频率变小,所以共振曲线的“峰”将向左移动,C错误,D正确。,【知识梳理】 1.自由振动、受迫振动和共振：,回复力,驱动力,驱动力,周期,频率,T驱,驱,T0,0,不变,最大,2.受迫振动中系统能量的变化：受迫振动系统机械能_, 系统与外界时刻进行能量交换。,不守恒,【微点拨】 1.回复力的两点注意： (1)回复力属于效果力,它可以是某一个力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,不是什么特别的力。 (2)公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,它由振动系统自身决定,不一定是弹簧的劲度系数。,2.路程与振幅的关系的两点提醒： (1)若从特殊位置(如平衡位置、最大位移处)开始计时， 周 期内的路程等于振幅； (2)若从一般位置开始计时， 周期内的路程可能大于振幅， 也可能小于振幅。 3.公式 的两点提醒： (1)l应理解为等效摆长，是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距 离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。 (2)g应理解为等效重力加速度，并不一定是当地的重力加速度。,考点1 简谐运动的五个特征 1.动力学特征：F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数。 2.运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比,而方向相反,为变加速运动,远离平衡位置时,x、F、a、Ep均增大,v、Ek均减小,靠近平衡位置时则相反。 3.运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。,深化 理解,4.对称性特征： (1)相隔 或 (n为正整数)的两个时刻，振子位置关 于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。 (2)如图所示,振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P (OP=OP)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置 的位移大小相等。,(3)振子由P到O所用时间等于由O到P所用时间,即tPO=tOP。 (4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。 5.能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep,简谐运动过程中,系统动能与势能相互转化,系统的机械能守恒。,【题组通关方案】 【典题1】(2013新课标全国卷)如图, 一轻弹簧一端固定,另一端连接一物块构 成弹簧振子,该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动,振幅为A0,周期为T0。当物块向右通过平衡位置时,a、b之间的粘胶脱开;以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T,则A A0(选填“”“”“”或“=”)。,【典题解析】物块以一定的速度通过平衡位置时,质量减小,则 振动的动能减小,也就是系统的机械能减小,所以能到达的最大 位移减小,振幅减小,故AA0。由于在这 周期内,初速度和末 速度不变,而位移减小了,所以运动时间减小,即振动周期减 小。 答案： ,【典题2】(2014漳州模拟)如图所示,弹簧下面 挂一质量为m的物体,物体在竖直方向上做振幅为 A的简谐运动,当物体振动到最高点时,弹簧正好 为原长,弹簧在弹性限度内,则物体在振动过程中 ( ) A.弹簧的最大弹性势能等于2mgA B.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 C.物体在最低点时的加速度大小应为2g D.物体在最低点时的弹力大小应为mg,【典题解析】选A。物体平衡时满足mg=kA。最低点与最高点相距2A,最低点弹簧的弹性势能最大,等于减少的重力势能,A正确;弹簧、物体、地球组成的系统机械能守恒,则弹簧的弹性势能、物体的动能、物体的重力势能总和不变,B错误;最高点回复力为F回=mg,由对称性知最低点F回=mg,最低点F回=F弹-mg,故F弹=2mg,D错误;最低点F合=F回=mg,根据牛顿第二定律知F合=ma,故a=g,C错误。,【加固训练】 1.(多选)一个质点在平衡位置O点附近做机械振动。若从O点开始计时,经过3s质点第一次经过M点(如图所示);再继续运动,又经过2s它第二次经过M点;则该质点第三次经过M点还需要的时间是( ) A.8 s B.4 s C.14 s D.,【解析】选C、D。设图中a、b两点为质点振动过程的最大位 移处，若开始计时时刻，质点从O点向右运动，OM过程历时 3 s，MbM运动过程历时2 s，显然， T=16 s。质点 第三次经过M点还需要的时间t3=T-2 s=(16-2) s=14 s，故 选项C正确。若开始计时时刻，质点从O点向左运动，OaO M运动过程历时3 s，MbM运动过程历时2 s，显然， 质点第三次经过M点还需要的时间t3= 故选项D正确。,2.(多选)如图所示,一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子,物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动,O为平衡位置,C为AO的中点,已知CO=h,弹簧的劲度系数为k。某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动。则以此时刻开始半个周期的时间内,对质量为m的物体,下列说法正确的是( ),A.重力势能减少了2mgh B.回复力做功为2mgh C.速度变化量的大小为2v D.通过A点时回复力的大小为kh,【解析】选A、C。作出弹簧振子的振动图 像如图所示,由于振动的周期性和对称性, 在半个周期内弹簧振子将运动到O点下方 的D点,C、D两点相对平衡位置O对称,因此 弹簧振子的高度降低了2h,重力做功2mgh,故弹簧振子的重力势能减少了2mgh,A项正确;回复力是该振子所受的合外力,由对称关系知,弹簧振子过D点的速度大小与过C点时相等,方向竖直向下,因此回复力做的功等于弹簧振子动能的改变量,即等于零,而速度的变化为v=v-(-v)=2v,B错,C对;弹簧振子通过A点时相对平衡位置的位移为2h,因此回复力F=-kx=-2kh,D项错。,【学科素养升华】 分析简谐运动中各物理量的变化情况的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时,一定要以位移为桥梁,位移增大时,振动质点的回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。另外,各矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时,回复力、加速度、动能、势能可以确定,但速度可能有两个方向,由于周期性,运动时间也不确定。 (3)做简谐运动的物体经过平衡位置时,回复力一定为零,但所受合外力不一定为零。,考点2 简谐运动的公式和图像 1.对简谐运动图像的认识： (1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线,如图所示。 (2)图像反映的是位移随时间的变化规律,随时间的增加而延伸,图像不代表质点运动的轨迹。,拓展 延伸,2.图像信息： (1)由图像可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率。 (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 (3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度在图像上总是指向t轴。 (4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,下一时刻位移如增加,振动质点的速度方向就是远离t轴,下一时刻位移如减小,振动质点的速度方向就是指向t轴。 (5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。 (6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。,【题组通关方案】 【典题3】(2012北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时,经过四分之一周期,振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是( ),【典题解析】选A。简谐运动加速度与位移的关系为 可见加速度与位移成正比,但是方向相反,因为经过四分之一周期,振子具有正方向的最大加速度,所以经过四分之一周期,就应该具有负方向最大位移,所以A正确。,【典题4】(2014南平模拟)如图所示,一底端有挡板的斜面体固定在水平面上,其斜面光滑,倾角为。一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上,上端与物块A连接在一起,物块B紧挨着物块A静止在斜面上。某时刻将B迅速移开,A将在斜面上做简谐运动。已知物块A、B的质量分别为mA、mB,若取沿斜面向上为正方向,移开B的时刻为计时起点,则A的振动位移随时间变化的图像是( ),【典题解析】选B。A、B作为一个整体,平衡时,设弹簧压缩量 为xAB,有(mA+mB)gsin=kxAB,A平衡时,设弹簧压缩量为xA,有 mAgsin=kxA,设A振动的振幅为A0,则A0=xAB-xA= 因取 沿斜面向上为正方向,t=0时刻物块A处于负的最大位移处,故其 简谐运动位移随时间变化的图像应是B项。A、C、D错误。,【加固训练】 1.(多选)如图所示是某质点做简谐运动 的振动图像,从图中可以知道( ) A.t1和t3时刻,质点的速度相同 B.t1到t2时间内,速度与加速度方向相同 C.t2到t3时间内,速度变大,而加速度变小 D.t1和t3时刻,质点的加速度相同,【解析】选C、D。t1和t3时刻,质点的速度大小相同,方向相反,A错误;t1到t2时间内,速度与加速度方向相反,B错误;t2到t3时间内,质点向平衡位置运动,速度变大,而加速度变小,C正确;t1和t3时刻,质点的加速度都为零,D正确。,2.(2014西城区模拟)一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin2.5t,位移y的单位为m,时间t的单位为s。则 ( ) A.弹簧振子的振幅为0.2m B.弹簧振子的周期为1.25s C.在t=0.2s时,振子的运动速度为零 D.在任意0.2s时间内,振子的位移均为0.1m,【解析】选C。根据弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式 为y=0.1sin2.5t,弹簧振子的振幅为0.1m,选项A错误。由 2.5= 可得弹簧振子的周期为T=0.8s,选项B错误。在 t=0.2s时,振子的位移最大,运动速度为零,选项C正确。在任 意0.2s时间内,振子的位移不一定为0.1m,选项D错误。,【学科素养升华】 简谐运动图像问题的两种分析方法 方法一：图像运动结合法 解此类题时,首先要理解x -t图像的意义,其次要把x -t图像与质点的实际振动过程联系起来。图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等),图像上的一段曲线对应振动的一个过程,关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。,方法二：直观结论法 简谐运动的图像表示振动质点的位移随时间变化的规律,即位移时间的函数关系图像,不是物体的运动轨迹。从振动图像上可以获取以下信息： (1)可直接读取振幅A、周期T(两个相邻正向最大位移之间的时间间隔或两个相邻负向最大位移之间的时间间隔)以及质点在任意时刻相对平衡位置的位移x。也可以知道开始计时时(t=0)振动质点的位置。 (2)由振动图像可以判定质点在任意时刻的回复力方向和加速度方向,二者都指向时间轴。,(3)可以判断某段时间内振动质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。若某段时间内质点的振动速度指向平衡位置,则质点的速度、动能均变大,位移、回复力、加速度、势能均变小;反之,则相反。凡是图像上与时间轴距离相等的点,振动质点具有相同的动能和势能。 (4)可以知道质点在任意时刻的速度方向。该点的斜率为正值时速度方向为正,该点的斜率为负值时速度方向为负。,考点3 探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度 1.实验原理： 由单摆的周期公式 可得出 测出单摆的摆长 l和振动周期T，就可求出当地的重力加速度g。 2.实验器材： 单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。,解题 技巧,3.实验步骤： (1)做单摆：取约1m长的细丝线穿过带中心孔的小钢球,并打一个比小孔大一些的结,然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上,让摆球自然下垂,如图所示。,(2)测摆长： 用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出小 球直径D，则单摆的摆长 (3)测周期： 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于10)，然后释放小球， 记下单摆摆动3050次的总时间，算出平均每摆动一次的时 间，即为单摆的振动周期。 (4)改变摆长，重做几次实验。,(5)数据处理的两种方法： 方法一：计算法。 根据公式 将测得的几次周期T和摆长l代入 公式 中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值， 即为当地的重力加速度的值。,方法二：图像法。 由单摆的周期公式 可得 因此以摆长l为纵 轴，以T2为横轴作出的l -T2图像是一条过原点的直线，如图所 示，求出图线的斜率k，即可求出g值。g=42k，,4.注意事项： (1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。 (2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于10。 (3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。 (4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l=L+r。 (5)选用一米左右的细线。,【题组通关方案】 【典题5】(2013安徽高考)根据单摆周期公式 可以 通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端 固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。,(1)用游标卡尺测量小钢球直径,示数如图乙所示,读数为 mm。,(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有_。 a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的 c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度 d.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔t即为单摆周期T,e.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5，释放摆球，当 摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振 动所用的时间t，则单摆周期,【典题解析】(1)(18+60.1) mm=18.6 mm。 (2)摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些， 摆球尽量选择质量大些、体积小些的，都是为了更加符合单摆 的构成条件，故a、b是正确的；摆线相距平衡位置的角度，以 不大于5为宜，故c是错误的；拉开摆球，使摆线偏离平衡位 置不大于5，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开 始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期 故d错，e对。 答案：(1)18.6 (2)a、b、e,【典题6】(2014合肥模拟)(1)在“用单摆测定当地的重力加速度”的实验中除带横杆的铁架台、铁夹、秒表、游标卡尺、刻度尺之外,还必须选用的器材,正确的一组是 。 A.约1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小铁球 B.约0.1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小铁球 C.约0.1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小塑料球 D.约1 m的不可伸长的细线,半径约1 cm的小塑料球 (2)测量小球直径时游标卡尺的读数为 cm。,(3)某同学在处理数据的步骤中，以 为纵坐标，以周期 T为横坐标，作出如图所示的图像，已知该图线的斜率为 k=0.500，则重力加速度为_m/s2。(结果保留三位有效 数字，=3.14),【典题解析】(1)本实验应选择细、轻又不易伸长的线，长度 一般在1 m左右，小球应选用直径较小、密度较大的金属球， 故选A。 (2)游标卡尺的读数为 8 mm+180.05 mm=8.90 mm=0.890 cm。 (3)由单摆的周期公式知 所以 可见 将k=0.500代入知g=9.86 m/s2。 答案：(1)A (2)0.890 (3)9.86,【加固训练】 1.(2014杭州模拟)将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外),如图甲所示,将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁,如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L,并通过改变L而测出对应的摆动周期T,再以T2为纵轴、L为横轴作出T2-L函数关系图像,那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。,(1)如果实验中所得到的T2-L关系图像如图乙所示,那么真正的图像应该是a、b、c中的 ; (2)由图可知,小筒的深度h= m,当地重力加速度g= m/s2;(计算结果保留三位有效数字) (3)在实验中,每次测量时总是错误地把摆线加上球直径当成了摆长,如果仍然采用题中图像方法处理数据,你认为会对实验结果产生怎样的影响?对h的影响是 ,对g的影响是 。 A.无影响 B.比真实值小 C.比真实值大 D.不确定,【解析】(1)由单摆周期公式得 得到 当L=0时， 则真正的图像是a。 (2)当T2=0时，L=-h，即图像与L轴交点坐标，h=-L=31.50 cm =0.315 m；图线的斜率大小 由题图根据数学知识得 到k=4，解得g=9.86 m/s2。 (3)对于一个确定的摆线长，周期一定，由 知， L测大了，则会使h偏小，B对；并不影响直线的斜率，故对g的 测量无影响，A对。 答案：(1)a (2)0.315 9.86 (3)B A,2.(1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作,请判断是否恰当(选填“是”或“否”)。 把单摆从平衡位置拉开约5释放： 。 在摆球经过最低点时启动秒表计时： 。 用秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期： 。,(2)该同学改进测量方法后,得到的部分 测量数据见表。用螺旋测微器测量其中 一个摆球直径的示数如图所示,该球的 直径为 mm。 根据表中数据可以初步判断单摆周期随 的增大而增大。,【解析】(1)单摆的摆角小于10时,单摆做简谐运动。 当球摆到最低点时,速度最大,此位置开始计时误差最小。 为了减小误差,应该记录3050次全振动的时间,然后再计算出单摆的周期。 (2)小球的直径D=20.5mm+18.40.01 mm=20.684 mm(20.68220.686 mm均正确) 分析表格中的数据可知,当单摆的摆长相同,质量不同时,周期相同,而质量相同,摆长长的周期大。 答案：(1)是 是 否 (2)20.684(20.68220.686) 摆长,【学科素养升华】 游标卡尺的读数技巧 (1)对三种游标卡尺的原理和精度做到准确理解并熟练掌握, 见表：,(2)牢记、掌握读数规律和读数公式。 读数公式：读数=主尺上的整毫米数+精确度n(n为游标尺上与主尺某一刻度对齐的格数) 读数位数：各种游标卡尺的读数结果若以毫米为单位,小数点后保留的位数与其精确度相同。 游标卡尺是根据刻度线对齐来读数的,所以不再往下一位估读。 (3)减少各种失误：如游标尺上的精度分析错误;把边框线误认为零刻线;计算失误等。,
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