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3.2 导数与函数的小综合,知识梳理,考点自测,1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是 . (2)可导函数f(x)在a,b上单调递增,则有 在a,b上恒成立. (3)可导函数f(x)在a,b上单调递减,则有 在a,b上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f(x)在该区间内 .,单调递增,单调递减,常数函数,f(x)0,f(x)0,不变号,知识梳理,考点自测,2.函数的极值 一般地,当函数f(x)的图象在点x0处连续时, (1)如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,知识梳理,考点自测,3.函数的最值 (1)图象在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 为函数的最小值,_ 为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在(a,b)内可导,图象在a,b上连续,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下: 求f(x)在(a,b)内的 ; 将f(x)的各极值与 进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,f(a),f(b),知识梳理,考点自测,1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值. 2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)如果函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)0.( ) (2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( ) (3)导数为零的点不一定是极值点.( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大.( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( ),6,答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,6,答案,2.如图是函数y=f(x)的导函数f(x)的图象,则下面判断正确的是( ) A.在区间(-2,1)内,f(x)是增函数 B.在区间(1,3)内,f(x)是减函数 C.在区间(4,5)内,f(x)是增函数 D.在区间(2,3)内,f(x)不是单调函数,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,6,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,6,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为 .,6,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,6.已知函数 在x=1处取得极值0,则a+b= .,6,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)当a=1时,求函数f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)的单调性.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)f(x)=ex+xex-a(x+1)=(x+1)(ex-a), 当a0时,ex-a0,由f(x)0得x-1,即在(-1,+)上,函数f(x)单调递增, 由f(x)0时,令f(x)=0得x=-1,或x=ln a. 当ln a=-1,即a=e-1时,无论x-1或x0,又f(-1)=0, 即在R上,f(x)0,从而函数f(x)在R上单调递增; 当ln a0x-1或x-1,即ae-1时, 由f(x)=(x+1)(ex-a)0xln a或x-1时,函数f(x)单调递增; 由f(x)=(x+1)(ex-a)0-1xln a时,函数f(x)单调递减.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间? 解题心得1.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间;当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练1已知函数f(x)= x2-2aln x+(a-2)x,当a0时,讨论函数f(x)的单调性.,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考向1 利用函数单调性比较大小 例2设函数f(x)是定义在(0,2)上的函数f(x)的导函数,f(x)=f(2-x),当0x时,若f(x)sin x-f(x)cos x0, 则( ) A.abc B.bca C.cba D.cab 思考本例题如何根据条件比较三个数的大小?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考如何利用函数的单调性求参数的范围?,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得1.比较大小时,根据三个数的特点结合已知条件构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较. 2.利用函数的单调性求参数的范围问题要视情况而定,若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到;若已知函数不等式求参数范围,先求函数的导数,确定函数的单调性,再由函数的单调性脱掉函数符号得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围;也可以根据条件采取分离参数法.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例4(2017全国,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系? 解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,反之,若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,3.利用导数研究函数极值的一般流程:,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例5(2017河北衡水中学调研,理12)已知a,bR,且exa(x-1)+b对xR恒成立,则ab的最大值是( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考求函数的最值可划分为哪几步? 解题心得求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练4已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是( ) A.ln ab-1 B.ln ab-1 C.ln a=b-1 D.以上都不对,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例6若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0x1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,思考已知极值或最值如何求参数的范围? 解题心得已知极值求参数:若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练5设函数 (e是自然对数的底数),若f(2)是函数f(x)的最小值,则a的取值范围是( ) A.-1,6 B.1,4 C.2,4 D.2,6,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0f(x)在(a,b)内为增函数;f(x)0f(x)在(a,b)内为减函数. 2.求可导函数极值的步骤: (1)求定义域及f(x); (2)求f(x)=0的根; (3)判定定义域内的根两侧导数的符号; (4)下结论. 3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,最值可以在区间的端点处取得. 4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.,高频小考点导数法求参数的取值范围 典例1若函数f(x)=x- sin 2x+asin x在(-,+)单调递增,则a的取值范围是( ) 答案:C,典例2设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是 ( ) 答案:D,A.(-,-6)(6,+) B.(-,-4)(4,+) C.(-,-2)(2,+) D.(-,-1)(1,+) 答案:C,典例4若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是( ) A.(-,-2 B.(-,-1 C.2,+) D.1,+) 答案:D,反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.,答案: (1)D (2)B,
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