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11.2 古典概型,知识梳理,考点自测,1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件 . (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性 . 3.古典概型的概率公式,互斥,基本事件,只有有限个,相等,知识梳理,考点自测,1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和. 2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,B,解析:甲、乙、丙三人站成一排照相留念,站法有甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,乙甲丙,丙甲乙、丙乙甲,共6种,乙正好站在甲、丙之间的有甲乙丙,丙乙甲,共2种,故所求概率为 ,故选B.,知识梳理,考点自测,C,解析:从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10种不同情况,记“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”为事件A,则事件A包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4个基本事件,则 .故选C.,知识梳理,考点自测,C,解析:密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为 .故选C.,知识梳理,考点自测,5.(2017江苏无锡一模,7)从集合1,2,3,4中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的槪率为 .,解析:从集合1,2,3,4中任取两个不同的数,基本事件总数n=6, 这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有(1,2),(2,4),共2个, 故这两个数的和为3的倍数的槪率,考点一,考点二,考点三,古典概型的概率 例1(1)(2017全国,文11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ),(2)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ),D,C,考点一,考点二,考点三,解析: (1)由题意可得抽取两张卡片上的数的所有情况如下表所示(表中点的横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数):,总共有25种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有10种,故所求的概率为,考点一,考点二,考点三,(2)(解法一)若认为两个花坛有区别,总的基本事件是:红黄,白紫;白紫,红黄;红白,黄紫;黄紫,红白;红紫,黄白;黄白,红紫,共6种.满足条件的基本事件是:红黄,白紫;白紫,红黄;红白,黄紫;黄紫,红白,共4种.故所求事件的概率为 (解法二)若认为两个花坛没有区别,总的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为,考点一,考点二,考点三,思考求古典概型的概率的一般思路是怎样的?对与顺序相关的问题怎样处理? 解题心得1.求古典概型的概率的思路是:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式. 2.对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.,考点一,考点二,考点三,对点训练1(1)在1,2,4,5这4个数中一次随机地取2个数,则所取的2个数的和为6的概率为( ),(2)(2017福建厦门一模,文4)中国将于2017年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待,其中3人担任英语翻译,另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人,恰有1个英语翻译,1个俄语翻译的概率是( ),A,C,考点一,考点二,考点三,解析: (1)在1,2,4,5这4个数中一次随机地取2个数,总的基本事件有(1,2),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(4,5),共6种,所取的2个数的和为6包含的基本事件有(1,5),(2,4),共2种,故所取的2个数的和为6的概率为 .故选A. (2)从5人中随机选取2人的基本事件共有10个,恰有1个英语翻译,1个俄语翻译的事件数为6个,所以所求概率为 ,故选C.,考点一,考点二,考点三,古典概型与其他知识的交汇问题(多考向) 考向1 古典概型与平面向量的交汇,C,思考如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与求概率的基本事件有关的问题?,考点一,考点二,考点三,考向2 古典概型与解析几何的交汇 例3将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为 .,思考如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?,考点一,考点二,考点三,考向3 古典概型与函数的交汇 例4设a2,4,b1,3,函数f(x)= ax2+bx+1. (1)求f(x)在区间(-,-1上是减函数的概率; (2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1)处的切线互相平行的概率.,考点一,考点二,考点三,思考如何把f(x)在区间(-,-1上是减函数的问题转换成与概率的基本事件有关的问题? 解题心得1.由两个向量的数量积公式,得出它们的夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系mn,然后分别求m=n和mn对应的事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数. 2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出ab,则满足ab的基本事件的个数就能求出来,从而转化成与概率的基本事件有关的问题. 3.f(x)在区间(-,-1上是减函数可转化成开口向上的二次函数f(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标大于或等于-1,从而得出ba,从而不难得出ba包含的基本事件数.因此也转化成了与概率的基本事件有关的问题.,考点一,考点二,考点三,D,考点一,考点二,考点三,解析: (1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),基本事件总数N=66=36,点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8个,考点一,考点二,考点三,(3)易得A=x|-2x5,xZ=-1,0,1,2,3,4, 由条件知,(a,b)的所有可能取法有(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,2), (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1),(2,1),(3,1),(4,1), (3,2),(4,2),(4,3),共20种,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,古典概型与统计的综合问题 例5(2017湖南岳阳一模,文19)根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如下表:,考点一,考点二,考点三,(1)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率; (2)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图. 求图中a的值; 求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.,考点一,考点二,考点三,解 (1)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75内的3天记为A1,A2,A3, PM2.5的24小时平均浓度在(75,100内的2天记为B1,B2. 所以从5天中任取2天的情况有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2共10种.其中符合条件的有:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6种.,(2)由第四组的频率为0.1,得25a=0.1,解得a=0.004. 去年该居民区PM2.5年平均浓度为: 12.50.15+37.50.6+62.50.15+87.50.1=42.5(微克/立方米). 因为42.535,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改善.,考点一,考点二,考点三,思考如何求解概率与统计相综合的题目? 解题心得有关古典概型与统计综合的题型,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,此类问题即可解决.,考点一,考点二,考点三,对点训练3(2017河南南阳一模,文18)已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位:百人)的关系有如下规定:当n0,100)时,拥挤等级为“优”;当n100,200)时,拥挤等级为“良”;当n200,300)时,拥挤等级为“拥挤”;当n300时,拥挤等级为“严重拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:,考点一,考点二,考点三,(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求出a,b的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);,(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩,求他这两天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率.,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,1.古典概型计算三步曲: 第一,试验中每个基本事件必须是等可能的;第二,试验的基本事件总共有多少个;第三,所求的事件是什么,它包含的基本事件有多少个. 2.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算. 3.解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.,考点一,考点二,考点三,古典概型的条件是事件发生的等可能性,一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时,它们是不是等可能的.,
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