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11.1 随机事件的概率,知识梳理,考点自测,1.事件的分类,可能发生也可能不发生,知识梳理,考点自测,2.频率与概率 (1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 ,称事件A出现的比例 为事件A出现的 . (2)随机事件概率的定义:在 的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的 会在某个 附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时这个 叫做随机事件A的概率,记作P(A),有0P(A)1. (3)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用_来估计概率P(A).,频数,频率,相同,频率,常数,常数,频率fn(A),知识梳理,考点自测,3.事件的关系与运算,发生,一定发生,BA (或AB),AB,A=B,当且仅当事件A发生或事件B发生,AB(或A+B),当且仅当事件A发生且事件B发生,AB(或AB),知识梳理,考点自测,不可能,AB=,不可能,必然事件,AB=,且AB=,知识梳理,考点自测,4.互斥事件与对立事件的关系 对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 5.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: . (2)必然事件的概率:P(A)= . (3)不可能事件的概率:P(A)= . (4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(AB)= . (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件.P(AB)= ,P(A)= .,0P(A)1,1,0,P(A)+P(B),1,1-P(B),知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)事件发生的频率与概率是相同的. ( ) (2)随机事件和随机试验是一回事. ( ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. ( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生. ( ) (5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1. ( ),2.设甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,则 ( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件,B,解析:互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件.,知识梳理,考点自测,3.下列说法: 频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小; 做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率 就是事件A发生的概率; 百分率是频率,但不是概率; 频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值; 频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,B,解析:由概率的相关定义知正确.,知识梳理,考点自测,A,知识梳理,考点自测,5.某射手在同一条件下进行射击,结果如下:,这个射手射击一次,击中靶心的概率约是 .,0.90,解析:击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91,易知击中靶心的频率在0.90附近摆动,故P(A)0.90.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,随机事件的关系 例1一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的一面出现的数字不小于4,则 ( ) A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件,D,解析:根据互斥事件与对立事件的定义作答,AB=出现点数1或3,事件A,B不互斥更不对立;BC=,BC=(为必然事件),故事件B,C是对立事件.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考如何判断随机事件之间的关系? 解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)紧扣事件的分类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断;(2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,对点训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不对立的事件有 .(填序号) 至少有一个红球,都是红球; 至少有一个红球,都是白球; 至少有一个红球,至少有一个白球; 恰有一个红球,恰有两个红球.,解析:由互斥事件与对立事件的关系及定义知,不互斥,对立,不互斥,互斥不对立.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,随机事件的频率与概率 例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,(3)由所给数据得,调查的200名续保人的平均保费为 0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考随机事件的频率与概率有怎样的关系?如何求随机事件的概率? 解题心得1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时,频率越稳定于概率. 2.求解随机事件的概率的常用方法有两种:(1)可用频率来估计概率. (2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的方法有:列表法;列举法;树状图法.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,对点训练2(2017浙江绍兴模拟)如图所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:,(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人. 故用频率估计相应的概率为 =0.44. (2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率如下表.,(3)A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站; B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站. 由(2)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2), 故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4 =0.9,P(B2)P(B1),故乙应选择L2.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,互斥事件、对立事件的概率 例3(2017河南洛阳模拟)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:,求:(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=ABC, 所以P(G)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=DEF,所以P(H)=P(DEF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. (方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考求互斥事件的概率的一般方法有哪些? 解题心得求互斥事件的概率一般有两种方法: (1)公式法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算; (2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1- 求出所求概率,特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就较简便.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,对点训练3某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,1.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 2.利用集合方法判断互斥事件与对立事件: (1)若由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥; (2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 3.若某一事件包含的基本事件较多,而它的对立事件包含的基本事件较少,则可用“正难则反”思想求解.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,1.正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.善于将事件转化为互斥事件的和或对立事件求解. 2.注意概率加法公式的使用条件,概率的一般加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中,易忽视只有当AB=,即A,B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B),此时P(AB)=0.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思想方法“正难则反”思想在概率中的应用 “正难则反”的思想是一种常见的数学思想,如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时,如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决,那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果,大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时,经常应用“正难则反”的思想,即若事件A与事件B互为对立事件,在求P(A)或P(B)时,利用公式P(A)=1-P(B)先求容易的一个,再求另一个.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,典例某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.,已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率),考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1, A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”,将频率视为概率得,
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