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9.2 点与直线、两条直线的位置关系,知识梳理,考点自测,1.两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括 三种情况. (1)两条直线平行 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且b1b2. 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10). (2)两条直线垂直 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1k2=-1. 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1l2 .,平行、相交、重合,A1A2+B1B2=0,知识梳理,考点自测,唯一解,无解,无数个解,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,1.与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直或平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. 2.与对称问题相关的两个结论: (1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0). (2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P(x,y),则有,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等. ( ) (2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1. ( ) (3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为 . ( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( ) (5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2均为常数),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0. ( ),知识梳理,考点自测,2.(2017福建莆田一模,文3)设a为实数,直线l1:ax+y=1,l2:x+ay=2a,则“a=-1”是“l1l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,解析:由“l1l2”得到a2-1=0,解得a=-1或a=1,所以应是充分不必要条件.故选A.,3.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0,D,解析:已知圆的圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1,故所求直线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.故选D.,知识梳理,考点自测,B,5.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a= .,0或1,解析:因为两条直线垂直,所以(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,两条直线的平行与垂直 例1已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断l1与l2是否平行; (2)当l1l2时,求a的值.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,思考解含参数直线方程的有关问题时如何分类讨论? 解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,对点训练1已知直线l的倾斜角为 ,直线l1经过点A(3,2),B(-a,1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2,B,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,直线的交点问题 例2求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,思考求两条直线的交点坐标的一般思路是什么? 解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点. 2.常见的三大直线系方程: (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR,且mC). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,对点训练2(1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=( ),(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为 .,B,3x+y=0,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,距离公式的应用 例3(1)(2017四川绵阳一诊)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( ),C,4,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,思考利用距离公式应注意的问题有哪些? 解题心得利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数相等.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,C,A,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,对称问题(多考向) 考向1 点关于点的对称问题 例4过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 . 思考点关于点的对称问题该如何解?,x+4y-4=0,解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程为x+4y-4=0.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考向2 点关于直线的对称问题 例5已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A的坐标为 .,思考点关于直线的对称问题该如何解?,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考向3 直线关于直线的对称问题 例6已知直线l:2x-3y+1=0,求直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,思考直线关于直线的对称问题该如何解? 解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b. 2.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l的问题,主要依据l上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T(2m-x,2n-y)必在l上. 3.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A(x0,y0)的坐标,一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程. 4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,对点训练4(1)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于 . (2)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,1.对于两条直线的位置关系的判断或求解 (1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1l2k1=k2. (2)若直线斜率均存在,则一定有:l1l2k1k2=-1. 2.中心对称问题 (1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决. (2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,思想方法转化思想在对称问题中的应用 1.若在直线l上找一点P,使点P到两定点A,B的距离之和最小,则要看A,B两点相对直线l的位置.若A,B在直线l的异侧,则直接连接AB,AB与直线l的交点即为所求;若A,B在直线l的同侧,则需要找出A或B中一个点关于直线l的对称点,然后连接另一点与对称点,连线与直线l的交点即为所求. 2.若在直线l上找一点使到两定点A,B的距离之差最大时,则与上面和最小问题正好相反.若A,B在直线l的异侧,则需要利用对称转化;若A,B在直线同侧,则A,B两点所在直线与l的交点即是所求.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,典例已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直线l上求一点P,使|PB|-|PA|最大. 解(1)设A关于直线l的对称点为A(m,n),考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点四,
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